考点：异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积。

专题：计算题；综合题；数形结合。

分析：（I）要求四面体ABCD的体积，必须确定它的高和底面，由已知，△ABC作为底面，高易作，根据线段的长度，即可求得四面体ABCD的体积；

（Ⅱ）利用三垂线定理找出二面角C﹣AB﹣D的平面角，根据该角为60°，找到各边之间的关系，利用平移的方法找出异面直线AD与BC所成角，解三角形，即可求得异面直线AD与BC所成角的余弦值．

解答：解：（I）设F为AC的中点，由于AD=CD，

所以DF⊥AC．

故由平面ABC⊥平面ACD，

知DF⊥平面ABC，，即DF是四面体ABCD的面ABC上的高，且DF=ADsin30°=1，

AF=ADcos30°=，

在Rt△ABC中，因AC=2AF=2，AB=2BC，

由勾股定理易知BC=，AB=．

故四面体ABCD的体积V==．

（II）设G，H分别为边CD，BD的中点，则FG∥AD，GH∥BC，

从而∠FGH是异面直线AD与BC所成角或其补角．

设E为边AB的中点，则EF∥BC，由AB⊥BC，知EF⊥AB，

又由（I）有DF⊥平面ABC，故由三垂线定理知DE⊥AB，

所以∠DEF为二面角C﹣AB﹣D的平面角，由题设知∠DEF=60°．

设AD=a，则DF=AD•SsinCAD=，

在Rt△DEF中，EF=DF•cotDEF==，

从而GH=BC=EF=，因Rt△ADE≌Rt△BDE，

故在Rt△BDF中，FH=．

又FG=AD=，从而在△FGH中，因FG=FH，

由余弦定理得cosFGH==．

点评：此题是个中档题．考查棱锥的体积公式和异面直线所成角问题，求解方法一般是平移法，找二面角的平面角时注意三垂线定理及其逆定理的应用，体现了数形结合和转化的思想．

20．（2011•重庆）如图，椭圆的中心为原点O，离心率e=，一条准线的方程为x=2．

（Ⅰ）求该椭圆的标准方程．

（Ⅱ）设动点P满足，其中M，N是椭圆上的点．直线OM与ON的斜率之积为﹣．

问：是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值．若存在，求F1，F2的坐标；若不存在，说明理由．

考点：椭圆的简单性质；椭圆的定义。

专题：计算题。

分析：（Ⅰ）根据离心率和准线方程求得a和c，则b可得，则椭圆的方程可得．

（Ⅱ）设出P，M，N的坐标，根据题设等式建立等式，把M，N代入椭圆方程，整理求得x2+2y220+4（x1x2+2y1y2），设出直线OM，ON的斜率，利用题意可求得x1x2+2y1y2=0，进而求得x2+2y2的值，利用椭圆的定义可推断出|PF1|+|PF2|为定值求得c，则两焦点坐标可得．

解答：解：（Ⅰ）由e==，=2，求得a=2，c=

∴b==

∴椭圆的方程为：

（Ⅱ）设P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），

则由，得（x，y）=（x1，y1）+2（x2，y2），

即x=x1+2x2，y=y1+2y2，

∵点M，N在椭圆上，所以