于是，当n≥2时，

an=Sn﹣Sn﹣1=3n+（a﹣3）×2n﹣1﹣3n﹣1﹣（a﹣3）×2n﹣2=2×3n﹣1+（a﹣3）2n﹣2，

an+1﹣an=4×3n﹣1+（a﹣3）2n﹣2=，

当n≥2时，⇔a≥﹣9．

又a2=a1+3＞a1．

综上，所求的a的取值范围是[﹣9，+∞）．（12分）

【点评】本题考查数列的综合运用，解题时要仔细审题，注意挖掘题设中的隐含条件．

21．（12分）设椭圆中心在坐标原点，A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．

（Ⅰ）若，求k的值；

（Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值．

【考点】96：平行向量（共线）；KH：直线与圆锥曲线的综合．

【专题】11：计算题；16：压轴题．

【分析】（1）依题可得椭圆的方程，设直线AB，EF的方程分别为x+2y=2，y=kx，D（x0，kx0），E（x1，kx1），F（x2，kx2），且x1，x2满足方程（1+4k2）x2=4，进而求得x2的表达式，进而根据求得x0的表达式，由D在AB上知x0+2kx0=2，进而求得x0的另一个表达式，两个表达式相等求得k．

（Ⅱ）由题设可知|BO|和|AO|的值，设y1=kx1，y2=kx2，进而可表示出四边形AEBF的面积进而根据基本不等式的性质求得最大值．

【解答】解：（Ⅰ）依题设得椭圆的方程为，

直线AB，EF的方程分别为x+2y=2，y=kx（k＞0）．

如图，设D（x0，kx0），E（x1，kx1），F（x2，kx2），其中x1＜x2，

且x1，x2满足方程（1+4k2）x2=4，

故．①

由知x0﹣x1=6（x2﹣x0），得；

由D在AB上知x0+2kx0=2，得．

所以，

化简得24k2﹣25k+6=0，

解得或．

（Ⅱ）由题设，|BO|=1，|AO|=2．由（Ⅰ）知，E（x1，kx1），F（x2，kx2），

不妨设y1=kx1，y2=kx2，由①得x2＞0，根据E与F关于原点对称可知y2=﹣y1＞0，

故四边形AEBF的面积为S=S△OBE+S△OBF+S△OAE+S△OAF

=•（﹣y1）

=

=x2+2y2

===，

当x2=2y2时，上式取等号．所以S的最大值为．

【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线的综合问题是支撑圆锥曲线知识体系的重点内容，问题的解决具有入口宽、方法灵活多样等，而不同的解题途径其运算量繁简差别很大．

22．（12分）设函数．

（Ⅰ）求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）如果对任何x≥0，都有f（x）≤ax，求a的取值范围．

【考点】3R：函数恒成立问题；6B：利用导数研究函数的单调性

【专题】11：计算题；16：压轴题．

【分析】（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间．