∴AB的直线方程为 y=﹣2（x﹣b），代入双曲线方程得：15x2﹣32bx+84b2=0，

∴x1+x2=，x1•x2=，

∴4=•=•，即16=﹣112b2，

∴b2=9，所求双曲线方程为：﹣=1．

【点评】做到边做边看，从而发现题中的巧妙，如据，联想到对应的是2渐近线的夹角的正切值，属于中档题．

22．（12分）设函数f（x）=x﹣xlnx．数列{an}满足0＜a1＜1，an+1=f（an）．

（Ⅰ）证明：函数f（x）在区间（0，1）是增函数；

（Ⅱ）证明：an＜an+1＜1；

（Ⅲ）设b∈（a1，1），整数．证明：ak+1＞b．

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；RG：数学归纳法

【专题】16：压轴题．

【分析】（1）首先求出函数的导数，然后令f′（x）=0，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数在区间（0，1）上的单调性，从而

进行证明．

（2）由题意数列{an}满足0＜a1＜1，an+1=f（an），求出an+1=an﹣anlnan，然后利用归纳法进行证明；

（3）由题意f（x）=x﹣xlnx，an+1=f（an）可得ak+1=ak﹣b﹣ak，然后进行讨论求解．

【解答】解：（Ⅰ）证明：∵f（x）=x﹣xlnx，

∴f′（x）=﹣lnx，

当x∈（0，1）时，f′（x）=﹣lnx＞0

故函数f（x）在区间（0，1）上是增函数；

（Ⅱ）证明：（用数学归纳法）

（i）当n=1时，0＜a1＜1，a1lna1＜0，

a2=f（a1）=a1﹣a1lna1＞a1，

∵函数f（x）在区间（0，1）是增函数且函数f（x）在x=1处连续，

∴f（x）在区间（0，1]是增函数，

a2=f（a1）=a1﹣a1lna1＜1，即a1＜a2＜1成立，

（ⅱ）假设当x=k（k∈N+）时，ak＜ak+1＜1成立，

即0＜a1≤ak＜ak+1＜1，

那么当n=k+1时，由f（x）在区间（0，1]是增函数，0＜a1≤ak＜ak+1＜1，

得f（ak）＜f（ak+1）＜f（1），

而an+1=f（an），

则ak+1=f（ak），ak+2=f（ak+1），ak+1＜ak+2＜1，

也就是说当n=k+1时，an＜an+1＜1也成立，

根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数n，an＜an+1＜1恒成立．

（Ⅲ）证明：由f（x）=x﹣xlnx，an+1=f（an）可得

ak+1=ak﹣aklnak=，

1）若存在某i≤k，满足ai≤b，则由（Ⅱ）知：ak+1﹣b＞ai﹣b≥0，

2）若对任意i≤k，都有ai＞b，则ak+1=ak﹣aklnak==≥a1﹣b1﹣ka1lnb=0，

即ak+1＞b成立．

【点评】此题主要考查多项式函数的导数，函数单调性的判定，函数最值，函数、方程与不等式等基础知识及数学归纳法的应用，一般出题者喜欢考查学生的运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力，要出学生会用数形结合的思想、分类与整合思想，化归与转化思想、有限与无限的思想来解决问题．