又因为OM与异面直线AA′和BD′都相交

故OM为异面直线AA′和BD′的公垂线；

（2）设平面BMC'的一个法向量为=（x，y，z）

=（0，﹣1，），=（﹣1，0，1）

即

取z=2，则x=2，y=1，从而=（2，1，2）

取平面BC′B′的一个法向量为=（0，1，0）

cos

由图可知，二面角M﹣BC′﹣B′的平面角为锐角

故二面角M﹣BC′﹣B′的大小为arccos．

【点评】本小题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体等基础知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力．

19．（12分）（2010•四川）（Ⅰ）①证明两角和的余弦公式Cα+β：cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ；

②由Cα+β推导两角和的正弦公式Sα+β：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．

（Ⅱ）已知，求cos（α+β）．

【考点】两角和与差的正弦函数；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的余弦函数

【专题】计算题．

【分析】（Ⅰ）①建立单位圆，在单位圆中作出角，找出相应的单位圆上的点的坐标，由两点间距离公式建立方程化简整理既得；②由诱导公式cos[﹣（α+β）]=sin（α+β）变形整理可得．

（Ⅱ），求出角A的正弦，再由，用cosC=﹣cos（A+B）求解即可．

【解答】解：（Ⅰ）①如图，在直角坐标系xOy内做单位圆O，

并作出角α、β与﹣β，使角α的始边为Ox，

交⊙O于点P1，终边交⊙O于P2；角β的始边为OP2，

终边交⊙O于P3；角﹣β的始边为OP1，终边交⊙O于P4．

则P1（1，0），P2（cosα，sinα）

P3（cos（α+β），sin（α+β）），

P4（cos（﹣β），sin（﹣β））

由P1P3=P2P4及两点间的距离公式，得

[cos（α+β）﹣1]2+sin2（α+β）=[cos（﹣β）﹣cosα]2+[sin（﹣β）﹣sinα]2

展开并整理得：2﹣2cos（α+β）=2﹣2（cosαcosβ﹣sinαsinβ）

∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ；（4分）

②由①易得cos（﹣α）=sinα，sin（﹣α）=cosα

sin（α+β）=cos[﹣（α+β）]=cos[（﹣α）+（﹣β）]

=cos（﹣α）cos（﹣β）﹣sin（﹣α）sin（﹣β）

=sinαcosβ+cosαsinβ；（6分）

（Ⅱ）∵α∈（π，），cosα=﹣

∴sinα=﹣

∵β∈（，π），tanβ=﹣

∴cosβ=﹣，sinβ=

cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ

=（﹣）×（﹣）﹣（﹣）×