因此M点的坐标为（），

同理可得

因此==0

②当直线BC与x轴垂直时，直线方程为x=2，则B（2，3），C（2，﹣3）

AB的方程为y=x+1，因此M点的坐标为（），

同理可得

因此=0

综上=0，即FM⊥FN

故以线段MN为直径的圆经过点F．

【点评】本小题主要考查直线、轨迹方程、双曲线等基础知识，考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力．

22．（14分）（2010•四川）设（a＞0且a≠1），g（x）是f（x）的反函数．

（1）求g（x）；

（2）当x∈[2，6]时，恒有成立，求t的取值范围；

（3）当0＜a≤时，试比较f（1）+f（2）+…+f（n）与n+4的大小，并说明理由．

【考点】利用导数研究函数的极值；反函数；不等式的证明

【专题】计算题；压轴题．

【分析】（1）欲求原函数的反函数，即从原函数式中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式．

（2）先分离参数t，t＜（x﹣1）2（7﹣x）转化为求右边函数式的最小值即可，对于高次函数的最值问题，可利用导数研究解决；

（3）欲比较f（1）+f（2）+…+f（n）与n+4的大小，分而解决之，先比较f（k）与某一式子的大小关系，利用二项式定理可得：f（k）≤1+=1+=1+，从而问题解决．

【解答】解：（1）由题意得：ax=＞0

故g（x）=，x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；（3分）

（2）由得

①当a＞1时，＞0

又因为x∈[2，6]，所以0＜t＜（x﹣1）2（7﹣x）

令h（x）=（x﹣1）2（7﹣x）=﹣x3+9x2﹣15x+7，x∈[2，6]

则h'（x）=﹣3x2+18x﹣15=﹣3（x﹣1）（x﹣5）

列表如下：

x 2 （2，5） 5 （5，6）6

h'（x）+ 0﹣

h（x） 5 递增极大值32 递减 25

所以h（x）最小值=5，

所以0＜t＜5

②当0＜a＜1时，0＜

又因为x∈[2，6]，所以t＞（x﹣1）2（7﹣x）＞0

令h（x）=（x﹣1）2（7﹣x）=﹣x3+9x2﹣15x+7，x∈[2，6]

由①知h（x）最大值=32，x∈[2，6]

所以t＞32

综上，当a＞1时，0＜t＜5；当0＜a＜1时，t＞32；（9分）

（3）设a=，则p≥1

当n=1时，f（1）=1+≤3＜5