由题意，∠BB′C=．

因此在Rt△BB′D中，BB′=2，∠BB′D=π﹣∠BB′C=，

BD=BB′•sinBB′D=．

（Ⅱ）连接AC、BC．因B′C∥A′A，B′C=A′A，AA′⊥l，

知A′ACB′为矩形，

故AC∥l．

所以∠BAC或其补角为异面直线l与AB所成的角．

在△BB′C中，B′B=2，B′C=3，∠BB′C=，

则由余弦定理，

BC=．

因BD⊥平面α，且DC⊥CA，由三垂线定理知AC⊥BC．

故在△ABC中，∠BCA=，sinBAC=．

因此，异面直线l与AB所成的角为arcsin

【点评】本题主要考查立体几何中的主干知识，如线线角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．解题的关键是线面平行、三垂线定理等基础知识，本题属中等题．

21．（12分）（2008•重庆）如图，M（﹣2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：||PM|﹣|PN||=2．

（Ⅰ）求点P的轨迹方程；

（Ⅱ）设d为点P到直线l：的距离，若|PM|=2|PN|2，求的值．

【考点】轨迹方程；双曲线的应用

【专题】计算题；压轴题．

【分析】（1）联系双曲线的第一定义，半焦距c=2，实半轴a=1，从而虚半轴b=，

（2）联系双曲线的第二定义，到定点距离比上到对应直线的距离等于常数e（离心率）．

【解答】解：（I）由双曲线的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长2a=2的双曲线．

因此半焦距c=2，实半轴a=1，从而虚半轴b=，

所以双曲线的方程为

（II）解法一：

由（I）及答（21）图，易知|PN|≥1，因|PM|=2|PN|2，①

知|PM|＞|PN|，故P为双曲线右支上的点，所以|PM|=|PN|+2．②

将②代入①，得2||PN|2﹣|PN|﹣2=0，解得|PN|=，

所以|PN|=．

因为双曲线的离心率e==2，直线l：x=是双曲线的右准线，故=e=2，

所以d=|PN|，因此

解法二：

设P（x，y），因|PN|≥1知

|PM|=2|PN|2≥PN|＞|PN|，

故P在双曲线右支上，所以x≥由双曲线方程有y2=3x2﹣3．

因此，．

从而由|PM|=2|PN|2得

2x+1=2（4x2﹣4x+1），即8x2﹣10x+1=0．