（Ⅱ）函数f（x）的单调区间．

【考点】导数的运算；利用导数研究函数的单调性；两条直线平行的判定．菁优网版权所有

【专题】计算题．

【分析】（1）先求出导函数的最小值，最小值与直线12x+y=6的斜率相等建立等式关系，求出a的值即可；

（2）先求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，解得的区间就是所求．

【解答】解：（Ⅰ）因f（x）=x3+ax2﹣9x﹣1

所以f'（x）=3x2+2ax﹣9=．

即当x=时，f'（x）取得最小值．

因斜率最小的切线与12x+y=6平行，即该切线的斜率为﹣12，

所以．

解得a=±3，由题设a＜0，所以a=﹣3．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=﹣3，因此f（x）=x3﹣3x2﹣9x﹣1，f'（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x﹣3）（x+1），

令f'（x）=0，解得：x1=﹣1，x2=3．

当x∈（﹣∞，﹣1）时，f'（x）＞0，故f（x）在（﹣∞，﹣1）上为增函数；

当x∈（﹣1，3）时，f'（x）＜0，故f（x）在（﹣1，3）上为减函数；

当x∈（3，+∞）时，f'（x）＞0，故f（x）在（3，+∞）上为增函数．

由此可见，函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1）和（3，+∞）；

单调递减区间为（﹣1，3）．

【点评】本小题主要考查导数的几何意义，及运用导数求函数的单调区间、一元二次不等式的解法等基础知识，属于基础题．

20．（12分）（2008•重庆）如图，α和β为平面，α∩β=l，A∈α，B∈β，AB=5，A，B在棱l上的射影分别为A′，B′，AA′=3，BB′=2．若二面角α﹣l﹣β的大小为，求：

（Ⅰ）点B到平面α的距离；

（Ⅱ）异面直线l与AB所成的角（用反三角函数表示）．

【考点】异面直线及其所成的角；点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有

【专题】计算题．

【分析】（1）先过点B到作平面α的垂线，交点为D，∠BB'C为二面角的平面角，再在直角三角形BB'D中求解BD即可；

（2）先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点A，得到∠BAC或其补角为异面直线所成的角，在三角形BAC中再利用余弦定理求出此角，再用反三角函数表示即可．

【解答】解：（1）如图，过点B′作直线B′C∥A′A且使B′C=A′A．

过点B作BD⊥CB′，交CB′的延长线于D．

由已知AA′⊥l，可得DB′⊥l，又已知BB′⊥l，

故l⊥平面BB′D，

得BD⊥l又因BD⊥CB′，从而BD⊥平面α，BD之长即为点B到平面α的距离．

因B′C⊥l且BB′⊥l，故∠BB′C为二面角α﹣l﹣β的平面角．

由题意，∠BB′C=．

因此在Rt△BB′D中，BB′=2，∠BB′D=π﹣∠BB′C=，

BD=BB′•sinBB′D=．

（Ⅱ）连接AC、BC．因B′C∥A′A，B′C=A′A，AA′⊥l，

知A′ACB′为矩形，

故AC∥l．

所以∠BAC或其补角为异面直线l与AB所成的角．