（Ⅰ）若a2=，求a3，a4，并猜想a2008的值（不需证明）；

（Ⅱ）记bn=a1a2…an（n∈N*），若bn≥2对n≥2恒成立，求a2的值及数列{bn}的通项公式．

【考点】数列的应用．菁优网版权所有

【专题】压轴题；归纳猜想型．

【分析】（Ⅰ）由题意可知，由此可猜想|an|的通项为an=2（﹣2）n﹣1（n∈N*）．

（Ⅱ）令xn=log2an，Sn表示xn的前n项和，则bn=2Sn．由题设知x1=1且；．由此入手能够求出a2的值及数列{bn}的通项公式．

【解答】解：（Ⅰ）因a1=2，a2=2﹣2，故，

由此有a1=2（﹣2）0，a2=2（﹣2）2，a3=2（﹣2）2，a4=2（﹣2）3，、

故猜想|an|的通项为an=2（﹣2）n﹣1（n∈N*）．

（Ⅱ）令xn=log2an，Sn表示xn的前n项和，则bn=2Sn．

由题设知x1=1且；①

．②

因②式对n=2成立，有．③

下用反证法证明：．

由①得．

因此数列|xn+1+2xn|是首项为x2+2，公比为的等比数列．

故．④

又由①知，

因此是是首项为，公比为﹣2的等比数列，

所以．⑤

由④﹣⑤得．⑥

对n求和得．⑦

由题设知．

．

即不等式22k+1＜

对k∈N*恒成立．但这是不可能的，矛盾．

因此x2≤，结合③式知x2=，因此a2=2*2=．

将x2=代入⑦式得

Sn=2﹣（n∈N*），

所以bn==（n∈N*）

【点评】本题考查数列性质的综合运用，解题时要认真审题．仔细解答，避免出错．