P4(2)=C24()2()2=.
(2)至少有一道题答对包括答对一道题目,答对两道题目,
答对三道题目,答对四道题目,这四种情况是互斥的,
∴至少答对一道题的概率C14()()3+C24()2()2+C34()3()+C44•()4•()0=+++=.
【点评】本题考查独立重复试验,是一个含有”至少“的问题,解题时出来列举出所有的情况,还可以利用对立事件的概率解至少有一道题答对的结果.
19.(12分)(2008•重庆)设函数f(x)=x3+ax2﹣9x﹣1(a<0).若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行,求:
(Ⅰ)a的值;
(Ⅱ)函数f(x)的单调区间.
【考点】导数的运算;利用导数研究函数的单调性;两条直线平行的判定
【专题】计算题.
【分析】(1)先求出导函数的最小值,最小值与直线12x+y=6的斜率相等建立等式关系,求出a的值即可;
(2)先求导数fˊ(x),在函数的定义域内解不等式fˊ(x)>0和fˊ(x)<0,解得的区间就是所求.
【解答】解:(Ⅰ)因f(x)=x3+ax2﹣9x﹣1
所以f'(x)=3x2+2ax﹣9=.
即当x=时,f'(x)取得最小值.
因斜率最小的切线与12x+y=6平行,即该切线的斜率为﹣12,
所以.
解得a=±3,由题设a<0,所以a=﹣3.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知a=﹣3,因此f(x)=x3﹣3x2﹣9x﹣1,f'(x)=3x2﹣6x﹣9=3(x﹣3)(x+1),
令f'(x)=0,解得:x1=﹣1,x2=3.
当x∈(﹣∞,﹣1)时,f'(x)>0,故f(x)在(﹣∞,﹣1)上为增函数;
当x∈(﹣1,3)时,f'(x)<0,故f(x)在(﹣1,3)上为减函数;
当x∈(3,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(3,+∞)上为增函数.
由此可见,函数f(x)的单调递增区间为(﹣∞,﹣1)和(3,+∞);
单调递减区间为(﹣1,3).
【点评】本小题主要考查导数的几何意义,及运用导数求函数的单调区间、一元二次不等式的解法等基础知识,属于基础题.
20.(12分)(2008•重庆)如图,α和β为平面,α∩β=l,A∈α,B∈β,AB=5,A,B在棱l上的射影分别为A′,B′,AA′=3,BB′=2.若二面角α﹣l﹣β的大小为,求:
(Ⅰ)点B到平面α的距离;
(Ⅱ)异面直线l与AB所成的角(用反三角函数表示).
【考点】异面直线及其所成的角;点、线、面间的距离计算
【专题】计算题.
【分析】(1)先过点B到作平面α的垂线,交点为D,∠BB'C为二面角的平面角,再在直角三角形BB'D中求解BD即可;
(2)先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点A,得到∠BAC或其补角为异面直线所成的角,在三角形BAC中再利用余弦定理求出此角,再用反三角函数表示即可.
【解答】解:(1)如图,过点B′作直线B′C∥A′A且使B′C=A′A.
过点B作BD⊥CB′,交CB′的延长线于D.
由已知AA′⊥l,可得DB′⊥l,又已知BB′⊥l,
故l⊥平面BB′D,
得BD⊥l又因BD⊥CB′,从而BD⊥平面α,BD之长即为点B到平面α的距离.
因B′C⊥l且BB′⊥l,故∠BB′C为二面角α﹣l﹣β的平面角.