∴.
由题意得,所以ω=2.
故f(x)=2cos2x.
∴.
(Ⅱ)将f(x)的图象向右平移个单位后,得到的图象,再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到的图象.
∴.
当(k∈Z),
即(k∈Z)时,g(x)单调递减,
因此g(x)的单调递减区间为(k∈Z).
18.(12分)(2008•山东)甲、乙两队参加奥运知识竞赛,每队3人,每人回答一个问题,答对者对本队赢得一分,答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为,乙队中3人答对的概率分别为,且各人回答正确与否相互之间没有影响.用ξ表示甲队的总得分.
(Ⅰ)求随机变量ξ的分布列和数学期望;
(Ⅱ)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件,用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件,求P(AB).
【分析】(1)由题意甲队中每人答对的概率均为,故可看作独立重复试验,故,
(2)AB为“甲、乙两个队总得分之和等于3”和“甲队总得分大于乙队总得分”同时满足,有两种情况:“甲得(2分)乙得(1分)”和“甲得(3分)乙得0分”这两个事件互斥,分别求概率,再取和即可.
【解答】解:(Ⅰ)解法一:由题意知,ξ的可能取值为0,1,2,3,且,,,.
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
ξ的数学期望为.
解法二:根据题设可知,,
因此ξ的分布列为,k=0,1,2,3.
因为,所以.
(Ⅱ)解法一:用C表示“甲得(2分)乙得(1分)”这一事件,用D表示“甲得(3分)乙得0分”这一事件,所以AB=C∪D,且C,D互斥,又=,,
由互斥事件的概率公式得.
解法二:用Ak表示“甲队得k分”这一事件,用Bk表示“乙队得k分”这一事件,k=0,1,2,3.
由于事件A3B0,A2B1为互斥事件,故有P(AB)=P(A3B0∪A2B1)=P(A3B0)+P(A2B1).
由题设可知,事件A3与B0独立,事件A2与B1独立,因此P(AB)=P(A3B0)+P(A2B1)=P(A3)P(B0)+P(A2)P(B1)=.
19.(12分)(2008•山东)将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10…记表中的第一列数a1,a2,a4,a7,…构成的数列为{bn},b1=a1=1.Sn为数列{bn}的前n项和,且满足.
(Ⅰ)证明数列成等差数列,并求数列{bn}的通项公式;
(Ⅱ)上表中,若从第三行起,第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比为同一个正数.当时,求上表中第k(k≥3)行所有项的和.
【分析】(Ⅰ)由题意所给的已知等式特点应考虑应用已知数列的前n项和求其通项这一公式来寻求出路,得到Sn与SSn﹣1之间的递推关系,先求出Sn的通项公式即可得证,接下来求{bn}的通项公式;
(Ⅱ)由题意第一列数a1,a2,a4,a7,…构成的数列为{bn},b1=a1=1,又已知{bn}的通项公式和a81的值,应该现有规律判断这一向位于图示中的具体位置,有从第三行起,第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比为同一个正数进而求解.
【解答】解:(Ⅰ)证明:由已知,当n≥2时,,又Sn=b1+b2+…+bn,
所以,
又S1=b1=a1=1.所以数列是首项为1,公差为的等差数列.
由上可知,.
所以当n≥2时,.
因此
(Ⅱ)设上表中从第三行起,每行的公比都为q,且q>0.