【分析】(Ⅰ)根据题意先设出A,B和M的坐标,对抛物线方程求导,进而表示出AM,BM的斜率,则直线AM和BM的直线方程可得,联立后整理求得2x0=x1+x2.推断出A,M,B三点的横坐标成等差数列.
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论,x0=2代入抛物线方程整理推断出x1,x2是方程x2﹣4x﹣4p2=0的两根,利用韦达定理求得x1+x2的值,表示出直线AB的方程,利用弦长公式求得|AB|,进而求得p,则抛物线的方程可得.
(Ⅲ)设出D点的坐标,进而表示出C的坐标,则CD的中点的坐标可得,代入直线AB的方程,把D点坐标代入抛物线的方程,求得x3,然后讨论x0=0和x0≠0时,两种情况,分析出答案.
【解答】解:(Ⅰ)证明:由题意设.
由x2=2py得,得,
所以,.
因此直线MA的方程为,
直线MB的方程为.
所以,①.②
由①、②得,
因此,即2x0=x1+x2.
所以A,M,B三点的横坐标成等差数列.
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,当x0=2时,
将其代入①、②并整理得:x12﹣4x1﹣4p2=0,x22﹣4x2﹣4p2=0,
所以x1,x2是方程x2﹣4x﹣4p2=0的两根,
因此x1+x2=4,x1x2=﹣4p2,
又,
所以.
由弦长公式得.
又,
所以p=1或p=2,
因此所求抛物线方程为x2=2y或x2=4y.
(Ⅲ)解:设D(x3,y3),由题意得C(x1+x2,y1+y2),
则CD的中点坐标为,
设直线AB的方程为,
由点Q在直线AB上,并注意到点也在直线AB上,
代入得.
若D(x3,y3)在抛物线上,则x32=2py3=2x0x3,
因此x3=0或x3=2x0.
即D(0,0)或.
(1)当x0=0时,则x1+x2=2x0=0,此时,点M(0,﹣2p)适合题意.
(2)当x0≠0,对于D(0,0),此时,=,
又,AB⊥CD,
所以,
即x12+x22=﹣4p2,矛盾.
对于,因为,此时直线CD平行于y轴,
又,
所以直线AB与直线CD不垂直,与题设矛盾,
所以x0≠0时,不存在符合题意的M点.
综上所述,仅存在一点M(0,﹣2p)适合题意.