解答:解:由截距式可得直线AB:,直线CP:,两式相减得,显然直线AB与CP的交点F满足此方程,又原点O也满足此方程,故为所求直线OF的方程.故答案为:.
点评:类比推理的一般步骤是:(1)找出两类事物之间的相似性或一致性;(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想).
10.(5分)
考点:归纳推理;等比数列的前n项和.4664233
专题:压轴题;规律型.
分析:观察图例,我们可以得到每一行的数放在一起,是从一开始的连续的正整数,故n行的最后一个数,即为前n项数据的个数,故我们要判断第n行(n≥3)从左向右的第3个数,可先判断第n﹣1行的最后一个数,然后递推出最后一个数据.
解答:解:本小题考查归纳推理和等差数列求和公式.前n﹣1行共有正整数1+2+…+(n﹣1)个,即个,因此第n行第3个数是全体正整数中第+3个,即为.
点评:归纳推理的一般步骤是:(1)通过观察个别情况发现某些相同性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想).
11.(5分)
考点:基本不等式.4664233
分析:由x﹣2y+3z=0可推出,代入中,消去y,再利用均值不等式求解即可.
解答:解:∵x﹣2y+3z=0,∴,∴=,当且仅当x=3z时取“=”.故答案为3.
点评:本小题考查了二元基本不等式,运用了消元的思想,是高考考查的重点内容.
12.(5分)
考点:椭圆的简单性质.4664233
专题:计算题;压轴题.
分析:抓住△OAP是等腰直角三角形,建立a,c的关系,问题迎刃而解.
解答:解:设切线PA、PB互相垂直,又半径OA垂直于PA,所以△OAP是等腰直角三角形,故,解得,故答案为.
点评:本题考查了椭圆的离心率,有助于提高学生分析问题的能力.
13.(5分)
考点:三角形中的几何计算.4664233
专题:计算题;压轴题.
分析:设BC=x,根据面积公式用x和sinB表示出三角形的面积,再根据余弦定理用x表示出sinB,代入三角形的面积表达式,进而得到关于x的三角形面积表达式,再根据x的范围求得三角形面积的最大值.
解答:解:设BC=x,则AC=x,根据面积公式得S△ABC=AB•BCsinB=×2x,根据余弦定理得cosB===,代入上式得S△ABC=x=,由三角形三边关系有,解得2﹣2<x<2+2.故当x=2时,S△ABC取得最大值2.
点评:本题主要考查了余弦定理和面积公式在解三角形中的应用.当涉及最值问题时,可考虑用函数的单调性和定义域等问题.
14.(5分)
考点:利用导数求闭区间上函数的最值.4664233
专题:计算题;压轴题.
分析:这类不等式在某个区间上恒成立的问题,可转化为求函数最值的问题,本题要分三类:①x=0,②x>0,③x<0等三种情形,当x=0时,不论a取何值,f(x)≥0都成立;当x>0时有a≥,可构造函数g(x)=,然后利用导数求g(x)的最大值,只需要使a≥g(x)max,同理可得x<0时的a的范围,从而可得a的值.
解答:解:若x=0,则不论a取何值,f(x)≥0都成立;当x>0即x∈(0,1]时,f(x)=ax3﹣3x+1≥0可化为:a≥设g(x)=,则g′(x)=,所以g(x)在区间(0,]上单调递增,在区间[,1]上单调递减,因此g(x)max=g()=4,从而a≥4;当x<0即x∈[﹣1,0)时,f(x)=ax3﹣3x+1≥0可化为:a≤,g(x)=在区间[﹣1,0)上单调递增,因此g(x)min=g(﹣1)=4,从而a≤4,综上a=4.答案为:4
点评:本题考查的是含参数不等式的恒成立问题,考查分类讨论,转化与化归的思想方法,利用导数和函数的单调性求函数的最大值,最小值等知识与方法.在讨论时,容易漏掉x=0的情形,因此分类讨论时要特别注意该问题的解答.
二、解答题(共12小题,满分90分)
15.(15分)
考点:两角和与差的正切函数.4664233
分析:(1)先由已知条件得;再求sinα、sinβ进而求出tanα、tanβ;最后利用tan(α+β)=解之.(2)利用第一问把tan(α+2β)转化为tan[(α+β)+β]求之,再根据α+2β的范围确定角的值.
解答:解:(1)由已知条件即三角函数的定义可知,因为α为锐角,则sinα>0,从而同理可得,因此.所以tan(α+β)=;(2)tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]=,又,故,所以由tan(α+2β)=﹣1得.
点评:本题主要考查正切的和角公式与转化思想.
16.(15分)
考点:直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定.4664233
专题:证明题.