解答:解:由已知,圆心O(﹣1,2),设直线l的斜率为k,弦AB的中点为P(0,1),PO的斜率为kop,则=﹣1∵l⊥PO,∴k•kop=k•(﹣1)=﹣1∴k=1由点斜式得直线AB的方程为:y=x+1故答案为:x﹣y+1=0
点评:考查求直线的方程,本题已知弦中点的坐标,再根据弦与弦心距对应直线垂直求斜率k.
16.(4分)(2008•重庆)某人有4种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多),要在如图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡,要求同一条线段两端的灯泡不同色,则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有216种(用数字作答).
考点:分步乘法计数原理.1706460
专题:压轴题.
分析:由题意知分3步进行,为A、B、C三点选三种颜色灯泡共有A43种选法;在A1、B1、C1中选一个装第4种颜色的灯泡,有3种情况;为剩下的两个灯选颜色,假设剩下的为B1、C1,若B1与A同色,则C1只能选B点颜色;若B1与C同色,则C1有A、B处两种颜色可选.故为B1、C1选灯泡共有3种选法,即剩下的两个灯有3种情况,根据计数原理得到结果.
解答:解:每种颜色的灯泡都至少用一个,即用了四种颜色的灯进行安装,分3步进行,第一步,A、B、C三点选三种颜色灯泡共有A43种选法;第二步,在A1、B1、C1中选一个装第4种颜色的灯泡,有3种情况;第三步,为剩下的两个灯选颜色,假设剩下的为B1、C1,若B1与A同色,则C1只能选B点颜色;若B1与C同色,则C1有A、B处两种颜色可选.故为B1、C1选灯泡共有3种选法,得到剩下的两个灯有3种情况,则共有A43×3×3=216种方法.故答案为:216
点评:本题用到两个计数原理,用两个计数原理解决计数问题时,最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析要完成的“一件事”是什么,可以“分类”还是需要“分步”.
三、解答题(共6小题,满分76分)
17.(13分)(2008•重庆)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A=60°,c=3b.求:
(Ⅰ)的值;
(Ⅱ)cotB+cot C的值.
考点:正弦定理;余弦定理.1706460
专题:计算题.
分析:(Ⅰ)先根据余弦定理求得a,b和c的关系式,再利用c=3b消去b,进而可得答案.(Ⅱ)对原式进行化简整理得由正弦定理和(Ⅰ)的结论求得结果.
解答:解:(Ⅰ)由余弦定理得.∴.(Ⅱ),由正弦定理和(Ⅰ)的结论得.故.
点评:本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用.正弦定理和余弦定理是解三角形问题中常使用的方法,应熟练掌握.
18.(13分)(2008•重庆)甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛:第一局由甲、乙参加而丙轮空,以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛,而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为,且各局胜负相互独立.求:
(Ⅰ)打满3局比赛还未停止的概率;
(Ⅱ)比赛停止时已打局数ξ的分别列与期望Eξ.
考点:离散型随机变量及其分布列;相互独立事件的概率乘法公式;离散型随机变量的期望与方差.1706460
专题:计算题.
分析:(1)打满3局比赛还未停止即在三局比赛中没有人连胜两局,分析其可能情况,每局比赛的结果相互独立且互斥,利用独立事件、互斥事件的概率求解即可.(2)ξ的所有可能值为2,3,4,5,6,分别求出ξ取每一个值的概率,列出分布列即可.
解答:解:令Ak,Bk,Ck分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜.(Ⅰ)由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知,打满3局比赛还未停止的概率为.(Ⅱ)ξ的所有可能值为2,3,4,5,6,且,..,,故有分布列 从而(局).
点评:本题考查互斥、独立事件的概率,离散型随机变量的分布列和期望等知识,同时考查利用概率知识解决问题的能力.
19.(13分)(2008•重庆)如图,在△ABC中,B=90°,AC=,D、E两点分别在AB、AC上.使,DE=3.现将△ABC沿DE折成直二角角,求
(Ⅰ)异面直线AD与BC的距离;
(Ⅱ)二面角A﹣EC﹣B的大小(用反三角函数表示).
考点:点、线、面间的距离计算;与二面角有关的立体几何综合题.1706460
专题:计算题.
分析:(1)先依据公垂线的定义,证明DB为异面直线AD与BC的公垂线,再求DB之长,注意到它是AB长的倍,故先求出AB的长即可;(2)过D作DF⊥CE,交CE的延长线于F,先证得∠AFD为二面角A﹣BC﹣B的平面角,再利用直角三角形中的边角关系求出其正切值即得.
解答:解:(Ⅰ)在图1中,因,故BE∥BC.又因B=90°,从而AD⊥DE.在图2中,因A﹣DE﹣B是直二面角,AD⊥DE,故AD⊥底面DBCE,从而AD⊥DB.而DB⊥BC,故DB为异面直线AD与BC的公垂线.下求DB之长.在图1中,由,得又已知DE=3,从而..因.(Ⅱ)在第图2中,过D作DF⊥CE,交CE的延长线于F,连接AF.由(1)知,AD⊥底面DBCE,由三垂线定理知AF⊥FC,故∠AFD为二面角A﹣BC﹣B的平面角.在底面DBCE中,∠DEF=∠BCE,,因此.从而在Rt△DFE中,DE=3,.在.因此所求二面角A﹣EC﹣B的大小为arctan.
点评:本小题主要考查直线与平面平行、二面角等基础知识,考查空间想象能力,运算能力和推理论证能力.
20.(13分)(2008•重庆)设函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),曲线y=f(x)通过点(0,2a+3),且在点(﹣1,f(﹣1))
处的切线垂直于y轴.
(Ⅰ)用a分别表示b和c;
(Ⅱ)当bc取得最小值时,求函数g(x)=﹣f(x)e﹣x的单调区间.
考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性.1706460