专题：综合题．

分析：（Ⅰ）把（0，2a+3）代入到f（x）的解析式中得到c与a的解析式，解出c；求出f'（x），因为在点（﹣1，f（﹣1））处的切线垂直于y轴，得到切线的斜率为0，即f′（﹣1）=0，代入导函数得到b与a的关系式，解出b即可．（Ⅱ）把第一问中的b与c代入bc中化简可得bc是关于a的二次函数，根据二次函数求最值的方法求出bc的最小值并求出此时的a、b和c的值，代入f（x）中得到函数的解析式，根据求导法则求出g（x）的导函数，将f′（x）和f（x）代入即可得到g′（x），然后令g′（x）=0求出x的值，利用x的值分区间讨论g′（x）的正负即可得到g（x）的增减区间．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=ax2+bx+c得到f'（x）=2ax+b．因为曲线y=f（x）通过点（0，2a+3），故f（0）=c=2a+3，又曲线y=f（x）在（﹣1，f（﹣1））处的切线垂直于y轴，故f'（﹣1）=0，即﹣2a+b=0，因此b=2a．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，故当时，bc取得最小值﹣．此时有．从而，g（x）=﹣f（x）e﹣x=（x2+x﹣）e﹣x，所以令g'（x）=0，解得x1=﹣2，x2=2．当x∈（﹣∞，﹣2）时，g'（x）＜0，故g（x）在x∈（﹣∞，﹣2）上为减函数；当x∈（﹣2，2）时，g'（x）＞0，故g（x）在x∈（2，+∞）上为减函数．当x∈（2，+∞）时，g'（x）＜0，故g（x）在x∈（2，+∞）上为减函数．由此可见，函数g（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣2）和（2，+∞）；单调递增区间为（﹣2，2）．

点评：本题是一道综合题，要求学生会利用导数研究函数的单调性，会利用导数研究曲线上某点的切线方程．做题时注意复合函数的求导法则．

21．（12分）（2008•重庆）如图，M（﹣2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：|PM|+|PN|=6．

（Ⅰ）求点P的轨迹方程；

（Ⅱ）若，求点P的坐标．

考点：椭圆的标准方程；轨迹方程；椭圆的应用．1706460

专题：综合题；压轴题．

分析：（1）先根据题意求出a，b，c的值，再代入到椭圆方程的标准形式中，可得到答案．（2）先将转化为|PM|•|PN|cosMPN=|PM|•|PN|﹣2的形式，再由余弦定理得到|MN|2=|PM|2+|PN|2﹣2|PM|•|PN|cosMPN，二者联立后再由点P在椭圆方程上可得到最后答案．

解答：解：（Ⅰ）由椭圆的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长2a=6的椭圆．因此半焦距c=2，长半轴a=3，从而短半轴b=，所以椭圆的方程为（Ⅱ）由，得|PM|•|PN|cosMPN=|PM|•|PN|﹣2．①因为cosMPN≠1，P不为椭圆长轴顶点，故P、M、N构成三角形．在△PMN中，|MN|=4，由余弦定理有|MN|2=|PM|2+|PN|2﹣2|PM|•|PN|cosMPN．②将①代入②，得42=|PM|2+|PN|2﹣2（|PM|•|PN|﹣2）．故点P在以M、N为焦点，实轴长为的双曲线上．由（Ⅰ）知，点P的坐标又满足，所以由方程组解得即P点坐标为或

点评：本题主要考查椭圆的标准方程．椭圆的标准方程、离心率、第二定义、准线方程、a，b，c的基本关系等都是高考的考点，要熟练掌握．

22．（12分）（2008•重庆）设各项均为正数的数列{an}满足a1=2，an=an+2（n∈N*）．

（Ⅰ）若a2=，求a3，a4，并猜想a2008的值（不需证明）；

（Ⅱ）记bn=a1a2…an（n∈N*），若bn≥2对n≥2恒成立，求a2的值及数列{bn}的通项公式．

考点：数列的应用．1706460

专题：压轴题；归纳猜想型．

分析：（Ⅰ）由题意可知，由此可猜想|an|的通项为an=2（﹣2）n﹣1（n∈N*）．（Ⅱ）令xn=log2an，Sn表示xn的前n项和，则bn=2Sn．由题设知x1=1且；．由此入手能够求出a2的值及数列{bn}的通项公式．

解答：解：（Ⅰ）因a1=2，a2=2﹣2，故，由此有a1=2（﹣2）0，a2=2（﹣2）2，a3=2（﹣2）2，a4=2（﹣2）3，、故猜想|an|的通项为an=2（﹣2）n﹣1（n∈N*）．（Ⅱ）令xn=log2an，Sn表示xn的前n项和，则bn=2Sn．由题设知x1=1且；①．②因②式对n=2成立，有．③下用反证法证明：．由①得．因此数列|xn+1+2xn|是首项为x2+2，公比为的等比数列．故．④又由①知，因此是是首项为，公比为﹣2的等比数列，所以．⑤由④﹣⑤得．⑥对n求和得．⑦由题设知．．即不等式22k+1＜对k∈N*恒成立．但这是不可能的，矛盾．因此x2≤，结合③式知x2=，因此a2=2*2=．将x2=代入⑦式得Sn=2﹣（n∈N*），所以bn==（n∈N*）

点评：本题考查数列性质的综合运用，解题时要认真审题．仔细解答，避免出错．