以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．

（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；

（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．

【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CS：概率的应用

【专题】15：综合题．

【分析】（1）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；

（2）（i）X可取60，70，80，计算相应的概率，即可得到X的分布列，数学期望及方差；

（ii）求出进17枝时当天的利润，与购进16枝玫瑰花时当天的利润比较，即可得到结论．

【解答】解：（1）当n≥16时，y=16×（10﹣5）=80；

当n≤15时，y=5n﹣5（16﹣n）=10n﹣80，得：

（2）（i）X可取60，70，80，当日需求量n=14时，X=60，n=15时，X=70，其他情况X=80，

P（X=60）===0.1，P（X=70）=0.2，P（X=80）=1﹣0.1﹣0.2=0.7，

X的分布列为

X607080

P0.10.20.7

EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76

DX=162×0.1+62×0.2+42×0.7=44

（ii）购进17枝时，当天的利润的期望为y=（14×5﹣3×5）×0.1+（15×5﹣2×5）×0.2+（16×5﹣1×5）×0.16+17×5×0.54=76.4

∵76.4＞76，∴应购进17枝

【点评】本题考查分段函数模型的建立，考查离散型随机变量的期望与方差，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力．

19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD

（1）证明：DC1⊥BC；

（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．

【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；MJ：二面角的平面角及求法

【专题】15：综合题．

【分析】（1）证明DC1⊥BC，只需证明DC1⊥面BCD，即证明DC1⊥DC，DC1⊥BD；

（2）证明BC⊥面ACC1A1，可得BC⊥AC取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，C1H，可得点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角，由此可求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．

【解答】（1）证明：在Rt△DAC中，AD=AC，∴∠ADC=45°

同理：∠A1DC1=45°，∴∠CDC1=90°

∴DC1⊥DC，DC1⊥BD

∵DC∩BD=D

∴DC1⊥面BCD

∵BC⊂面BCD

∴DC1⊥BC

（2）解：∵DC1⊥BC，CC1⊥BC，DC1∩CC1=C1，∴BC⊥面ACC1A1，

∵AC⊂面ACC1A1，∴BC⊥AC

取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，OH

∵A1C1=B1C1，∴C1O⊥A1B1，

∵面A1B1C1⊥面A1BD，面A1B1C1∩面A1BD=A1B1，