【解答】解：（Ⅰ）求导函数，可得f'（x）=a﹣sinx，x∈[0，π]，sinx∈[0，1]；

当a≤0时，f'（x）≤0恒成立，f（x）单调递减；当a≥1 时，f'（x）≥0恒成立，f（x）单调递增；

当0＜a＜1时，由f'（x）=0得x1=arcsina，x2=π﹣arcsina

当x∈[0，x1]时，sinx＜a，f'（x）＞0，f（x）单调递增

当x∈[x1，x2]时，sinx＞a，f'（x）＜0，f（x）单调递减

当x∈[x2，π]时，sinx＜a，f'（x）＞0，f（x）单调递增；

（Ⅱ）由f（x）≤1+sinx得f（π）≤1，aπ﹣1≤1，∴a≤．

令g（x）=sinx﹣（0≤x），则g′（x）=cosx﹣

当x时，g′（x）＞0，当时，g′（x）＜0

∵，∴g（x）≥0，即（0≤x），

当a≤时，有

①当0≤x时，，cosx≤1，所以f（x）≤1+sinx；

②当时，=1+≤1+sinx

综上，a≤．

【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，解题的关键是正确求导，确定函数的单调性．

21．（12分）已知抛物线C：y=（x+1）2与圆（r＞0）有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l．

（Ⅰ）求r；

（Ⅱ）设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D到l的距离．

【考点】IM：两条直线的交点坐标；IT：点到直线的距离公式；KJ：圆与圆锥曲线的综合

【专题】15：综合题；16：压轴题．

【分析】（Ⅰ）设A（x0，（x0+1）2），根据y=（x+1）2，求出l的斜率，圆心M（1，），求得MA的斜率，利用l⊥MA建立方程，求得A的坐标，即可求得r的值；

（Ⅱ）设（t，（t+1）2）为C上一点，则在该点处的切线方程为y﹣（t+1）2=2（t+1）（x﹣t），即y=2（t+1）x﹣t2+1，若该直线与圆M相切，则圆心M到该切线的距离为，建立方程，求得t的值，求出相应的切线方程，可得D的坐标，从而可求D到l的距离．

【解答】解：（Ⅰ）设A（x0，（x0+1）2），

∵y=（x+1）2，y′=2（x+1）

∴l的斜率为k=2（x0+1）

当x0=1时，不合题意，所以x0≠1

圆心M（1，），MA的斜率．

∵l⊥MA，∴2（x0+1）×=﹣1

∴x0=0，∴A（0，1），

∴r=|MA|=；

（Ⅱ）设（t，（t+1）2）为C上一点，则在该点处的切线方程为y﹣（t+1）2=2（t+1）（x﹣t），即y=2（t+1）x﹣t2+1

若该直线与圆M相切，则圆心M到该切线的距离为

∴

∴t2（t2﹣4t﹣6）=0

∴t0=0，或t1=2+，t2=2﹣

抛物线C在点（ti，（ti+1）2）（i=0，1，2）处的切线分别为l，m，n，其方程分别为

y=2x+1①，y=2（t1+1）x﹣②，y=2（t2+1）x﹣③

②﹣③：x=

代入②可得：y=﹣1

∴D（2，﹣1），