【专题】11：计算题．

【分析】（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转换成边的关系，代入余弦定理中求得cosB的值，进而求得B．

（Ⅱ）利用两角和公式先求得sinA的值，进而利用正弦定理分别求得a和c．

【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理得a2+c2﹣ac=b2，

由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB，

故cosB=，B=45°

（Ⅱ）sinA=sin（30°+45°）=sin30°cos45°+cos30°sin45°=

故a=b×==1+

∴c=b×=2×=

【点评】本题主要考查了解三角形问题．考查了对正弦定理和余弦定理的灵活运用．

19．（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．

（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；

（Ⅱ）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．

【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；CN：二项分布与n次独立重复试验的模型

【专题】5I：概率与统计．

【分析】（I）设该车主购买乙种保险的概率为P，由相互独立事件概率公式可得P（1﹣0.5）=0.3，解可得p，先求出该车主甲、乙两种保险都不购买的概率，由对立事件的概率性质计算可得答案．

（II）该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买，是一个n次独立重复试验恰好发生k次的概率，根据上一问的结果得到该地的一位车主甲、乙两种保险都不购买的概率，代入公式得到结果．

【解答】解：（I）设该车主购买乙种保险的概率为p，

根据题意可得p×（1﹣0.5）=0.3，解可得p=0.6，

该车主甲、乙两种保险都不购买的概率为（1﹣0.5）（1﹣0.6）=0.2，

由对立事件的概率该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率1﹣0.2=0.8

（II）每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为0.2，则该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率P=C31×0.2×0.82=0.384．

【点评】本题考查互斥事件的概率公式加法公式，考查n次独立重复试验恰好发生k次的概率，考查对立事件的概率公式，是一个综合题目．

20．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．

（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；

（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．

【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角

【专题】11：计算题；14：证明题．

【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，即证明SD垂直于面SAB中两条相交的直线SA，SB；在证明SD与SA，SB的过程中运用勾股定理即可

（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小即利用平面SBC的法向量，当为锐角时，所求的角即为它的余角；当为钝角时，所求的角为

【解答】（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中，

∵AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=1

∴AD==

∵侧面SAB为等边三角形，AB=2

∴SA=2

∵SD=1

∴AD2=SA2+SD2

∴SD⊥SA

同理：SD⊥SB