解得

综合①②，得a的取值范围是

【点评】将字母a看成常数，讨论关于x的三次多项式函数的极值点，是解决本题的难点，本题中处理关于a的无理不等式，计算也比较繁，因此本题对能力的要求比较高．

22．（12分）已知O为坐标原点，F为椭圆C：在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为﹣的直线l与C交于A、B两点，点P满足．

（Ⅰ）证明：点P在C上；

（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．

【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；KH：直线与圆锥曲线的综合

【专题】15：综合题；16：压轴题；35：转化思想．

【分析】（1）要证明点P在C上，即证明P点的坐标满足椭圆C的方程，根据已知中过F且斜率为﹣的直线l与C交于A、B两点，点P满足，我们求出点P的坐标，代入验证即可．

（2）若A、P、B、Q四点在同一圆上，则我们可以先求出任意三点确定的圆的方程，然后将第四点坐标代入验证即可．

【解答】证明：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2）

椭圆C：①，则直线AB的方程为：y=﹣x+1 ②

联立方程可得4x2﹣2x﹣1=0，

则x1+x2=，x1×x2=﹣

则y1+y2=﹣（x1+x2）+2=1

设P（p1，p2），

则有：=（x1，y1），=（x2，y2），=（p1，p2）；

∴+=（x1+x2，y1+y2）=（，1）；=（p1，p2）=﹣（+）=（﹣，﹣1）

∴p的坐标为（﹣，﹣1）代入①方程成立，所以点P在C上．

（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．

设线段AB的中点坐标为（，），即（，），

则过线段AB的中点且垂直于AB的直线方程为：y﹣=（x﹣），即y=x+；③

∵P关于点O的对称点为Q，故0（0.0）为线段PQ的中点，

则过线段PQ的中点且垂直于PQ的直线方程为：y=﹣x④；

③④联立方程组，解之得：x=﹣，y=

③④的交点就是圆心O1（﹣，），

r2=|O1P|2=（﹣﹣（﹣））2+（﹣1﹣）2=

故过P Q两点圆的方程为：（x+）2+（y﹣）2=…⑤，

把y=﹣x+1 …②代入⑤，

有x1+x2=，y1+y2=1

∴A，B也是在圆⑤上的．

∴A、P、B、Q四点在同一圆上．

【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，向量在几何中的应用，其中判断点与曲线关系时，所使用的坐标代入验证法是解答本题的关键．