【专题】15：综合题；53：导数的综合应用．

【分析】（I）求导函数，由导数的正负可得函数的单调区间；

（II）f（x）=x（ex﹣1﹣ax），令g（x）=ex﹣1﹣ax，分类讨论，确定g（x）的正负，即可求得a的取值范围．

【解答】解：（I）a=时，f（x）=x（ex﹣1）﹣x2，=（ex﹣1）（x+1）

令f′（x）＞0，可得x＜﹣1或x＞0；令f′（x）＜0，可得﹣1＜x＜0；

∴函数的单调增区间是（﹣∞，﹣1），（0，+∞）；单调减区间为（﹣1，0）；

（II）f（x）=x（ex﹣1﹣ax）．

令g（x）=ex﹣1﹣ax，则g'（x）=ex﹣a．

若a≤1，则当x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）为增函数，

而g（0）=0，从而当x≥0时g（x）≥0，即f（x）≥0．

若a＞1，则当x∈（0，lna）时，g'（x）＜0，g（x）为减函数，

而g（0）=0，从而当x∈（0，lna）时，g（x）＜0，即f（x）＜0．

综合得a的取值范围为（﹣∞，1]．

另解：当x=0时，f（x）=0成立；

当x＞0，可得ex﹣1﹣ax≥0，即有a≤的最小值，

由y=ex﹣x﹣1的导数为y′=ex﹣1，

当x＞0时，函数y递增；x＜0时，函数递减，

可得函数y取得最小值0，即ex﹣x﹣1≥0，

x＞0时，可得≥1，

则a≤1．

【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．

22．（10分）如图：已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：

（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．

（Ⅱ）BC2=BE•CD．

【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明；NB：弦切角

【专题】14：证明题．

【分析】（I）先根据题中条件：“”，得∠BCD=∠ABC．再根据EC是圆的切线，得到∠ACE=∠ABC，从而即可得出结论．

（II）欲证BC2=BE x CD．即证．故只须证明△BDC～△ECB即可．

【解答】解：（Ⅰ）因为，

所以∠BCD=∠ABC．

又因为EC与圆相切于点C，

故∠ACE=∠ABC

所以∠ACE=∠BCD．（5分）

（Ⅱ）因为∠ECB=∠CDB，∠EBC=∠BCD，

所以△BDC～△ECB，

故．

即BC2=BE×CD．（10分）

【点评】本题主要考查圆的切线的判定定理的证明、弦切角的应用、三角形相似等基础知识，考查运化归与转化思想．属于基础题．

23．（10分）已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），