化简并整理得：2（a2﹣c2）=b2．

又由已知a2﹣c2=2b∴4b=b2．

解得b=4或b=0（舍）；

法二：由余弦定理得：a2﹣c2=b2﹣2bccosA．

又a2﹣c2=2b，b≠0．

所以b=2ccosA+2①又sinAcosC=3cosAsinC，

∴sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCsin（A+C）=4cosAsinC，

即sinB=4cosAsinC由正弦定理得，

故b=4ccosA②由①，②解得b=4．

【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．属基础题．

19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°

（I）证明：M是侧棱SC的中点；

（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．

【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；MJ：二面角的平面角及求法

【专题】11：计算题；14：证明题．

【分析】（Ⅰ）法一：要证明M是侧棱SC的中点，作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，解RT△MNE即可得x的值，进而得到M为侧棱SC的中点；

法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，并求出S点的坐标、C点的坐标和M点的坐标，然后根据中点公式进行判断；

法三：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，构造空间向量，然后数乘向量的方法来证明．

（Ⅱ）我们可以以D为坐标原点，分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，我们可以利用向量法求二面角S﹣AM﹣B的大小．

【解答】证明：（Ⅰ）作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，

连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，

设MN=x，则NC=EB=x，

在RT△MEB中，∵∠MBE=60°∴．

在RT△MNE中由ME2=NE2+MN2∴3x2=x2+2

解得x=1，从而∴M为侧棱SC的中点M．

（Ⅰ）证法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，则．

设M（0，a，b）（a＞0，b＞0），

则，，

由题得，

即

解之个方程组得a=1，b=1即M（0，1，1）

所以M是侧棱SC的中点．

（I）证法三：设，

则

又

故，

即，

解得λ=1，所以M是侧棱SC的中点．