【专题】16：压轴题．

【分析】（1）利用导数求解函数的单调性的方法步骤进行求解．

（2）根据已知，只需求出f（x）在点P处的导数，即斜率，就可以求出切线方程．

【解答】解：（Ⅰ）

令f′（x）＞0得或；

令f′（x）＜0得或

因此，f（x）在区间和为增函数；

在区间和为减函数．

（Ⅱ）设点P（x0，f（x0）），

由l过原点知，l的方程为y=f′（x0）x，

因此f（x0）=f′（x0）x0，即x04﹣3x02+6﹣x0（4x03﹣6x0）=0，

整理得（x02+1）（x02﹣2）=0，解得或．

所以的方程为y=2x或y=﹣2x

【点评】本题比较简单，是一道综合题，主要考查函数的单调性、利用导数的几何意义求切线方程等函数基础知识，应熟练掌握．

22．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．

（Ⅰ）求r的取值范围；

（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．

【考点】IR：两点间的距离公式；JF：圆方程的综合应用；K8：抛物线的性质

【专题】15：综合题；16：压轴题．

【分析】（1）先联立抛物线与圆的方程消去y，得到x的二次方程，根据抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是此方程有两个不相等的正根，可求出r的范围．

（2）先设出四点A，B，C，D的坐标再由（1）中的x二次方程得到两根之和、两根之积，表示出面积并求出其的平方值，最后根据三次均值不等式确定得到最大值时的点P的坐标．

【解答】解：（Ⅰ）将抛物线E：y2=x代入圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）的方程，

消去y2，整理得x2﹣7x+16﹣r2=0（1）

抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是：

方程（1）有两个不相等的正根

∴

即．

解这个方程组得，．

（II）设四个交点的坐标分别为

、、、．

则直线AC、BD的方程分别为y﹣=•（x﹣x1），y+=（x﹣x1），

解得点P的坐标为（，0），

则由（I）根据韦达定理有x1+x2=7，x1x2=16﹣r2，

则

∴

令，

则S2=（7+2t）2（7﹣2t）下面求S2的最大值．

由三次均值有：