【解答】解:(1)设双曲线方程为,由
,
同向,
∴渐近线的倾斜角范围为(0,),
∴渐近线斜率为:,∴
.
∵||、|
|、|
|成等差数列,∴|OB|+|OA|=2|AB|,
∴|AB|2=(|OB|﹣|OA|)(|OB|+|OA|)=(|OB|﹣|OA|)•2|AB|,
∴,
∴,
可得:,而在直角三角形OAB中,
注意到三角形OAF也为直角三角形,即tan∠AOB=,
而由对称性可知:OA的斜率为k=tan,
∴,∴2k2+3k﹣2=0,∴
;
∴,∴
,∴
.
(2)由第(1)知,a=2b,可设双曲线方程为﹣
=1,∴c=
b.
由于AB的倾斜角为+
∠AOB,故AB的斜率为tan(
+
∠AOB )=﹣cot(
∠AOB)=﹣2,
∴AB的直线方程为 y=﹣2(x﹣b),代入双曲线方程得:15x2﹣32
bx+84b2=0,
∴x1+x2=,x1•x2=
,
∴4=•
=
•
,即16=
﹣112b2,
∴b2=9,所求双曲线方程为:﹣
=1.
【点评】做到边做边看,从而发现题中的巧妙,如据,联想到对应的是2渐近线的夹角的正切值,属于中档题.