【考点】HR：余弦定理

【专题】11：计算题．

【分析】（I）由图及已知作CD垂直于AB，在直角三角形BDC中求BC的长．

（II）由面积公式解出边长c，再由余弦定理解出边长b，求三边的和即周长．

【解答】解：（I）过C作CD⊥AB于D，则由CD=bsinA=4，BD=acosB=3

∴在Rt△BCD中，a=BC==5

（II）由面积公式得S=×AB×CD=×AB×4=10得AB=5

又acosB=3，得cosB=

由余弦定理得：b===2

△ABC的周长l=5+5+2=10+2

答：（I）a=5；（II）l=10+2

【点评】本题主要考查了射影定理及余弦定理．

18．（12分）四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2，，AB=AC．

（Ⅰ）证明：AD⊥CE；

（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45°，求二面角C﹣AD﹣E的大小．

【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法

【专题】5F：空间位置关系与距离．

【分析】（1）取BC中点F，证明CE⊥面ADF，通过证明线面垂直来达到证明线线垂直的目的．

（2）在面AED内过点E作AD的垂线，垂足为G，由（1）知，CE⊥AD，则∠CGE即为所求二面角的平面角，△CGE中，使用余弦定理求出此角的大小．

【解答】解：（1）取BC中点F，连接DF交CE于点O，

∵AB=AC，∴AF⊥BC．

又面ABC⊥面BCDE，∴AF⊥面BCDE，∴AF⊥CE．

再根据 ，可得∠CED=∠FDC．

又∠CDE=90°，∴∠OED+∠ODE=90°，

∴∠DOE=90°，即CE⊥DF，∴CE⊥面ADF，∴CE⊥AD．

（2）在面ACD内过C点作AD的垂线，垂足为G．

∵CG⊥AD，CE⊥AD，∴AD⊥面CEG，∴EG⊥AD，

则∠CGE即为所求二面角的平面角．

作CH⊥AB，H为垂足．

∵平面ABC⊥平面BCDE，矩形BCDE中，BE⊥BC，故BE⊥平面ABC，CH⊂平面ABC，

故BE⊥CH，而AB∩BE=B，故CH⊥平面ABE，

∴∠CEH=45°为CE与平面ABE所成的角．

∵CE=，∴CH=EH=．

直角三角形CBH中，利用勾股定理求得BH===1，∴AH=AB﹣BH=AC﹣1；

直角三角形ACH中，由勾股定理求得AC2=CH2+AH2=3+（AC﹣1）2，∴AB=AC=2．

由面ABC⊥面BCDE，矩形BCDE中CD⊥CB，可得CD⊥面ABC，

故△ACD为直角三角形，AD===，

故CG===，DG==，