【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），由已知得B（x，﹣3），A（0，﹣1）．

所=（﹣x，﹣1﹣y），=（0，﹣3﹣y），=（x，﹣2）．

再由题意可知（）•=0，即（﹣x，﹣4﹣2y）•（x，﹣2）=0．

所以曲线C的方程式为y=﹣2．

（Ⅱ）设P（x0，y0）为曲线C：y=﹣2上一点，因为y′=x，所以l的斜率为x0，

因此直线l的方程为y﹣y0=x0（x﹣x0），即x0x﹣2y+2y0﹣x02=0．

则o点到l的距离d=．又y0=﹣2，

所以d==≥2，

所以x02=0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2．

【点评】此题是个中档题．考查向量与解析几何的交汇点命题及代入法求轨迹方程，以及导数的几何意义和点到直线的距离公式，综合性强，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．

21．（12分）已知函数f（x）=+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3=0．

（Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）如果当x＞0，且x≠1时，f（x）＞+，求k的取值范围．

【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程

【专题】15：综合题；16：压轴题；32：分类讨论；35：转化思想．

【分析】（I）求出函数的导数；利用切线方程求出切线的斜率及切点；利用函数在切点处的导数值为曲线切线的斜率及切点也在曲线上，列出方程组，求出a，b值．

（II）将不等式变形，构造新函数，求出新函数的导数，对参数k分类讨论，判断出导函数的符号，得到函数的单调性，求出函数的最值，求出参数k的范围．

【解答】解：由题意f（1）=1，即切点坐标是（1，1）

（Ⅰ）

由于直线x+2y﹣3=0的斜率为，且过点（1，1），故

即解得a=1，b=1．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以

）．

考虑函数（x＞0），则

．

（i）设k≤0，由知，当x≠1时，h′（x）＜0．而h（1）=0，故

当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，可得；

当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，可得h（x）＞0

从而当x＞0，且x≠1时，f（x）﹣（+）＞0，即f（x）＞+．

（ii）设0＜k＜1．由于当x∈（1，）时，（k﹣1）（x2+1）+2x＞0，故h′（x）＞0，而

h（1）=0，故当x∈（1，）时，h（x）＞0，可得h（x）＜0，与题设矛盾．

（iii）设k≥1．此时h′（x）＞0，而h（1）=0，故当x∈（1，+∞）时，h（x）＞0，可得h（x）＜0，与题设矛盾．

综合得，k的取值范围为（﹣∞，0]．

【点评】本题考查导数的几何意义：函数在切点处的导数值是切线的斜率、考查构造函数，通过导数研究函数的单调性，求出函数的最值、考查了分类讨论的数学思想方法．

22．（10分）如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2﹣14x+mn=0的两个根．

（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；

（Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圆的半径．

【考点】N7：圆周角定理；NC：与圆有关的比例线段

【专题】11：计算题；14：证明题．