又D为BB1的中点，

故DE∥BF，DE⊥AB1．

作CG⊥AB，G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点．

又由底面ABC⊥面AA1B1B．连接DG，则DG∥AB1，

故DE⊥DG，由三垂线定理，得DE⊥CD．

所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线．

（2）因为DG∥AB1，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，∠CDG=45°

设AB=2，则AB1=，DG=，CG=，AC=．

作B1H⊥A1C1，H为垂足，因为底面A1B1C1⊥面AA1CC1，故B1H⊥面AA1C1C．又作HK⊥AC1，K为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1﹣AC1﹣B1的平面角．

B1H=，C1H=，AC1=，HK=

tan∠B1KH=，

∴二面角A1﹣AC1﹣B1的大小为arctan．

【点评】本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解，考查考生的空间想象与推理计算的能力．三垂线定理是立体几何的最重要定理之一，是高考的热点，它是处理线线垂直问题的有效方法，同时它也是确定二面角的平面角的主要手段．通过引入空间向量，用向量代数形式来处理立体几何问题，淡化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法，从而降低了思维难度，使解题变得程序化，这是用向量解立体几何问题的独到之处．

20．（12分）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是P，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．

（Ⅰ）求P；

（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率．

【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式

【专题】11：计算题．

【分析】（1）设出基本事件，将要求事件用基本事件的来表示，将T1，T2，T3至少有一个能通过电流用基本事件表示并求出概率即可求得p．

（Ⅱ）根据题意，B表示事件：电流能在M与N之间通过，根据电路图，可得B=A4+（1﹣A4）A1A3+（1﹣A4）（1﹣A1）A2A3，由互斥事件的概率公式，代入数据计算可得答案．

【解答】解：（Ⅰ）根据题意，记电流能通过Ti为事件Ai，i=1、2、3、4，

A表示事件：T1，T2，T3，中至少有一个能通过电流，

易得A1，A2，A3相互独立，且，

P（）=（1﹣p）3=1﹣0.999=0.001，

计算可得，p=0.9；

（Ⅱ）根据题意，B表示事件：电流能在M与N之间通过，

有B=A4+（1﹣A4）A1A3+（1﹣A4）（1﹣A1）A2A3，

则P（B）=P（A4+（1﹣A4）A1A3+（1﹣A4）（1﹣A1）A2A3）

=0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9

=0.9891．

【点评】本题考查了概率中的互斥事件、对立事件及独立事件的概率，注意先明确事件之间的关系，进而选择对应的公式来计算．

21．（12分）已知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）．

（Ⅰ）求C的离心率；

（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|•|BF|=17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．

【考点】J9：直线与圆的位置关系；KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合

【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题．

【分析】（Ⅰ）由直线过点（1，3）及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于BD两点的中点为（1，3），可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出a，b的关系式即求得离心率．

（Ⅱ）利用离心率将条件|FA||FB|=17，用含a的代数式表示，即可求得a，则A点坐标可得（1，0），由于A在x轴上所以，只要证明2AM=BD即证得．