【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；JF：圆方程的综合应用

【专题】5C：向量与圆锥曲线．

【分析】要求的最小值，我们可以根据已知中，圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，结合切线长定理，设出PA，PB的长度和夹角，并将表示成一个关于x的函数，然后根据求函数最值的办法，进行解答．

【解答】解：如图所示：设OP=x（x＞0），

则PA=PB=，

∠APO=α，则∠APB=2α，

sinα=，

=

=×（1﹣2sin2α）

=（x2﹣1）（1﹣）=

=x2+﹣3≥2﹣3，

∴当且仅当x2=时取“=”，故的最小值为2﹣3．

故选：D．

【点评】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法﹣﹣判别式法，同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力．

12．（5分）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为（）

A． B． C． D．

【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；ND：球的性质

【专题】11：计算题；15：综合题；16：压轴题．

【分析】四面体ABCD的体积的最大值，AB与CD是对棱，必须垂直，确定球心的位置，即可求出体积的最大值．

【解答】解：过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB于P，设点P到CD的距离为h，

则有，

当直径通过AB与CD的中点时，，故．

故选：B．

【点评】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离，通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力．

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．（5分）不等式的解集是[0，2]．

【考点】7E：其他不等式的解法

【专题】11：计算题；16：压轴题；35：转化思想．

【分析】法一是移项后平方，注意等价转化为不等式组，化简求交集即可；

法二是化简为等价不等式组的形式，求不等式组的解集．

【解答】解：法一：原不等式等价于

解得0≤x≤2．

法二：

故答案为：[0，2]

【点评】本小题主要考查根式不等式的解法，利用平方去掉根号是解根式不等式的基本思路，也让转化与化归的数学思想体现得淋漓尽致．

14．（5分）已知α为第三象限的角，，则=．

【考点】G3：象限角、轴线角；GG：同角三角函数间的基本关系；GP：两角和与差的三角函数；GS：二倍角的三角函数

【专题】11：计算题．