【分析】方法一：由α为第三象限的角，判断出2α可能的范围，再结合又＜0确定出2α在第二象限，利用同角三角函数关系求出其正弦，再由两角和的正切公式展开代入求值．

方法二：判断2α可能的范围时用的条件组合方式是推出式，其它比同．

【解答】解：方法一：因为α为第三象限的角，所以2α∈（2（2k+1）π，π+2（2k+1）π）（k∈Z），

又＜0，所以，

于是有，，

所以=．

方法二：α为第三象限的角，，⇒4kπ+2π＜2α＜4kπ+3π⇒2α在二象限，

【点评】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式，同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能．

15．（5分）直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a有四个交点，则a的取值范围是（1，）．

【考点】3V：二次函数的性质与图象

【专题】13：作图题；16：压轴题；31：数形结合．

【分析】在同一直角坐标系内画出直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a的图象，观察求解．

【解答】解：如图，在同一直角坐标系内画出直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a，

观图可知，a的取值必须满足，

解得．

故答案为：（1，）

【点评】本小题主要考查函数的图象与性质、不等式的解法，着重考查了数形结合的数学思想．

16．（5分）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且，则C的离心率为．

【考点】K4：椭圆的性质

【专题】16：压轴题；31：数形结合．

【分析】由椭圆的性质求出|BF|的值，利用已知的向量间的关系、三角形相似求出D的横坐标，再由椭圆的第二定义求出|FD|的值，又由|BF|=2|FD|建立关于a、c的方程，解方程求出 的值．

【解答】解：如图，，

作DD1⊥y轴于点D1，则由，得，所以，，

即，由椭圆的第二定义得

又由|BF|=2|FD|，得，a2=3c2，解得e==，

故答案为：．

【点评】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想，本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径．

三、解答题（共6小题，满分70分）

17．（10分）已知△ABC的内角A，B及其对边a，b满足a+b=acotA+bcotB，求内角C．

【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值；HP：正弦定理

【专题】11：计算题．

【分析】先利用正弦定理题设等式中的边转化角的正弦，化简整理求得sin（A﹣）=sin（B+），进而根据A，B的范围，求得A﹣和B+的关系，进而求得A+B=，则C的值可求．

【解答】解：由已知及正弦定理，有sinA+sinB=sinA•+sinB•=cosA+cosB，

∴sinA﹣cosA=cosB﹣sinB

∴sin（A﹣）=sin（B+），

∵0＜A＜π，0＜B＜π

∴﹣＜A﹣＜＜B+＜

∴A﹣+B+=π，