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全国卷高考理科数学含答案
大小:0B 10页 发布时间: 2024-01-29 13:29:02 12.39k 12.32k

(Ⅱ)设,求△BDK的内切圆M的方程.

【考点】9S:数量积表示两个向量的夹角;IP:恒过定点的直线;J1:圆的标准方程;K8:抛物线的性质;KH:直线与圆锥曲线的综合

【专题】11:计算题;14:证明题;16:压轴题.

【分析】(Ⅰ)先根据抛物线方程求得焦点坐标,设出过点K的直线L方程代入抛物线方程消去x,设L与C 的交点A(x1,y1),B(x2,y2),根据韦达定理求得y1+y2和y1y2的表达式,进而根据点A求得点D的坐标,进而表示出直线BD和BF的斜率,进而问题转化两斜率相等,进而转化为4x2=y22,依题意可知等式成立进而推断出k1=k2原式得证.

(Ⅱ)首先表示出结果为求得m,进而求得y2﹣y1的值,推知BD的斜率,则BD方程可知,设M为(a,0),M到x=y﹣1和到BD的距离相等,进而求得a和圆的半径,则圆的方程可得.

【解答】解:(Ⅰ)抛物线C:y2=4x①的焦点为F(1,0),

设过点K(﹣1,0)的直线L:x=my﹣1,

代入①,整理得

y2﹣4my+4=0,

设L与C 的交点A(x1,y1),B(x2,y2),则

y1+y2=4m,y1y2=4,

点A关于X轴的对称点D为(x1,﹣y1).

BD的斜率k1===

BF的斜率k2=

要使点F在直线BD上

需k1=k2

需4(x2﹣1)=y2(y2﹣y1),

需4x2=y22,

上式成立,∴k1=k2,

∴点F在直线BD上.

(Ⅱ)=(x1﹣1,y1)(x2﹣1,y2)=(x1﹣1)(x2﹣1)+y1y2=(my1﹣2)(my2﹣2)+y1y2=4(m2+1)﹣8m2+4=8﹣4m2=

∴m2=,m=±

y2﹣y1==4=

∴k1=,BD:y=(x﹣1).

易知圆心M在x轴上,设为(a,0),M到x=y﹣1和到BD的距离相等,即

|a+1|×=|((a﹣1)|×

∴4|a+1|=5|a﹣1|,﹣1<a<1,

解得a=

∴半径r=

∴△BDK的内切圆M的方程为(x﹣)2+y2=

【点评】本小题为解析几何与平面向量综合的问题,主要考查抛物线的性质、直线与圆的位置关系,直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆的方程的求解、平面向量的数量积等知识,考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力、运算能力和解决问题的能力,同时考查了数形结合思想、设而不求思想.

22.(12分)已知数列{an}中,a1=1,an+1=c﹣

(Ⅰ)设c=,bn=,求数列{bn}的通项公式;

(Ⅱ)求使不等式an<an+1<3成立的c的取值范围.

【考点】8H:数列递推式;RG:数学归纳法

【专题】15:综合题;16:压轴题.

【分析】(1)令c=代入到an+1=c﹣中整理并令bn=进行替换,得到关系式bn+1=4bn+2,进而可得到{}是首项为﹣,公比为4的等比数列,先得到{}的通项公式,即可得到数列{bn}的通项公式.

(2)先求出n=1,2时的c的范围,然后用数学归纳法分3步进行证明当c>2时an<an+1,然后当c>2时,令α=,根据由可发现c>时不能满足条件,进而可确定c的范围.

【解答】解:(1)

,即bn+1=4bn+2

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