（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．

【考点】K4：椭圆的性质

【专题】15：综合题；16：压轴题．

【分析】（I）设F（c，0），则直线l的方程为x﹣y﹣c=0，由坐标原点O到l的距离求得c，进而根据离心率求得a和b．

（II）由（I）可得椭圆的方程，设A（x1，y1）、B（x2，y2），l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得方程△＞0．由韦达定理可求得y1+y2和y1y2的表达式，假设存在点P，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），代入椭圆方程；把A，B两点代入椭圆方程，最后联立方程求得c，进而求得P点坐标，求出m的值得出直线l的方程．

【解答】解：（I）设F（c，0），直线l：x﹣y﹣c=0，

由坐标原点O到l的距离为

则，解得c=1

又，∴

（II）由（I）知椭圆的方程为

设A（x1，y1）、B（x2，y2）

由题意知l的斜率为一定不为0，故不妨设l：x=my+1

代入椭圆的方程中整理得（2m2+3）y2+4my﹣4=0，显然△＞0．

由韦达定理有：，，①

假设存在点P，使成立，则其充要条件为：

点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），

点P在椭圆上，即．

整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6．

又A、B在椭圆上，即2x12+3y12=6，2x22+3y22=6、

故2x1x2+3y1y2+3=0②

将x1x2=（my1+1）（my2+1）=m2y1y2+m（y1+y2）+1及①代入②解得

∴，

x1+x2=，即

当；

当

【点评】本题主要考查了椭圆的性质．处理解析几何题，学生主要是在“算”上的功夫不够．所谓“算”，主要讲的是算理和算法．算法是解决问题采用的计算的方法，而算理是采用这种算法的依据和原因，一个是表，一个是里，一个是现象，一个是本质．有时候算理和算法并不是截然区分的．例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来算？在具体处理的时候，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入点．

22．（12分）设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，

（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）证明：f（x2）＞．

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值；R6：不等式的证明

【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题．

【分析】（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），令g（x）=2x2+2x+a，由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于﹣1的不相等的实根，建立不等关系解之即可，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间；

（2）x2是方程g（x）=0的根，将a用x2表示，消去a得到关于x2的函数，研究函数的单调性求出函数的最大值，即可证得不等式．

【解答】解：（I）

令g（x）=2x2+2x+a，其对称轴为．

由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于﹣1的不相等的实根，

其充要条件为，得

（1）当x∈（﹣1，x1）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（﹣1，x1）内为增函数；

（2）当x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（x1，x2）内为减函数；