b3=b2+,
bn=bn﹣1+(n≥2).
于是bn=b1+++…+=2﹣(n≥2).
又b1=1,
故所求的通项公式为bn=2﹣.
(2)由(1)知an=2n﹣,
故Sn=(2+4+…+2n)﹣(1++++…+),
设Tn=1++++…+,①
Tn=+++…++,②
①﹣②得,
Tn=1++++…+﹣
=﹣=2﹣﹣,
∴Tn=4﹣.
∴Sn=n(n+1)+﹣4.
【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和的求法,解题时要注意错位相减法的合理运用.
21.(12分)如图,已知抛物线E:y2=x与圆M:(x﹣4)2+y2=r2(r>0)相交于A、B、C、D四个点.
(Ⅰ)求r的取值范围;
(Ⅱ)当四边形ABCD的面积最大时,求对角线AC、BD的交点P的坐标.
【考点】IR:两点间的距离公式;JF:圆方程的综合应用;K8:抛物线的性质
【专题】15:综合题;16:压轴题.
【分析】(1)先联立抛物线与圆的方程消去y,得到x的二次方程,根据抛物线E:y2=x与圆M:(x﹣4)2+y2=r2(r>0)相交于A、B、C、D四个点的充要条件是此方程有两个不相等的正根,可求出r的范围.
(2)先设出四点A,B,C,D的坐标再由(1)中的x二次方程得到两根之和、两根之积,表示出面积并求出其的平方值,最后根据三次均值不等式确定得到最大值时的点P的坐标.
【解答】解:(Ⅰ)将抛物线E:y2=x代入圆M:(x﹣4)2+y2=r2(r>0)的方程,
消去y2,整理得x2﹣7x+16﹣r2=0(1)
抛物线E:y2=x与圆M:(x﹣4)2+y2=r2(r>0)相交于A、B、C、D四个点的充要条件是:
方程(1)有两个不相等的正根
∴
即.
解这个方程组得,.
(II)设四个交点的坐标分别为
、、、.
则直线AC、BD的方程分别为y﹣=•(x﹣x1),y+=(x﹣x1),
解得点P的坐标为(,0),
则由(I)根据韦达定理有x1+x2=7,x1x2=16﹣r2,
则
∴
令,
则S2=(7+2t)2(7﹣2t)下面求S2的最大值.
由三次均值有: