【专题】58：解三角形．

【分析】（I）已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，整理后得到关系式，利用余弦定理表示出cosB，将关系式代入求出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；

（II）由（I）得到A+C的度数，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（A﹣C），变形后将cos（A+C）及2sinAsinC的值代入求出cos（A﹣C）的值，利用特殊角的三角函数值求出A﹣C的值，与A+C的值联立即可求出C的度数．

【解答】解：（I）∵（a+b+c）（a﹣b+c）=（a+c）2﹣b2=ac，

∴a2+c2﹣b2=﹣ac，

∴cosB==﹣，

又B为三角形的内角，

则B=120°；

（II）由（I）得：A+C=60°，∵sinAsinC=，cos（A+C）=，

∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC﹣sinAsinC+2sinAsinC=cos（A+C）+2sinAsinC=+2×=，

∴A﹣C=30°或A﹣C=﹣30°，

则C=15°或C=45°．

【点评】此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．

19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是等边三角形．

（Ⅰ）证明：PB⊥CD；

（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的大小．

【考点】LW：直线与平面垂直；M5：共线向量与共面向量

【专题】11：计算题；5G：空间角．

【分析】（I）取BC的中点E，连接DE，过点P作PO⊥平面ABCD于O，连接OA、OB、OD、OE．可证出四边形ABED是正方形，且O为正方形ABED的中心．因此OE⊥OB，结合三垂线定理，证出OE⊥PB，而OE是△BCD的中位线，可得OE∥CD，因此PB⊥CD；

（II）由（I）的结论，证出CD⊥平面PBD，从而得到CD⊥PD．取PD的中点F，PC的中点G，连接FG，可得FG∥CD，所以FG⊥PD．连接AF，可得AF⊥PD，因此∠AFG为二面角A﹣PD﹣C的平面角，连接AG、EG，则EG∥PB，可得EG⊥OE．设AB=2，可求出AE、EG、AG、AF和FG的长，最后在△AFG中利用余弦定理，算出∠AFG=π﹣arccos，即得二面角A﹣PD﹣C的平面角大小．

【解答】解：（I）取BC的中点E，连接DE，可得四边形ABED是正方形

过点P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OA、OB、OD、OE

∵△PAB与△PAD都是等边三角形，∴PA=PB=PD，可得OA=OB=OD

因此，O是正方形ABED的对角线的交点，可得OE⊥OB

∵PO⊥平面ABCD，得直线OB是直线PB在内的射影，∴OE⊥PB

∵△BCD中，E、O分别为BC、BD的中点，∴OE∥CD，可得PB⊥CD；

（II）由（I）知CD⊥PO，CD⊥PB

∵PO、PB是平面PBD内的相交直线，∴CD⊥平面PBD

∵PD⊂平面PBD，∴CD⊥PD

取PD的中点F，PC的中点G，连接FG，

则FG为△PCD有中位线，∴FG∥CD，可得FG⊥PD

连接AF，由△PAD是等边三角形可得AF⊥PD，∴∠AFG为二面角A﹣PD﹣C的平面角

连接AG、EG，则EG∥PB

∵PB⊥OE，∴EG⊥OE，

设AB=2，则AE=2，EG=PB=1，故AG==3

在△AFG中，FG=CD=，AF=，AG=3

∴cos∠AFG==﹣，得∠AFG=π﹣arccos，

即二面角A﹣PD﹣C的平面角大小是π﹣arccos．