【点评】本题给出特殊的四棱锥，求证直线与直线垂直并求二面角平面角的大小，着重考查了线面垂直的判定与性质、三垂线定理和运用余弦定理求二面的大小等知识，属于中档题．

20．（12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．

（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；

（Ⅱ）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．

【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；CH：离散型随机变量的期望与方差

【专题】5I：概率与统计．

【分析】（I）令A1表示第2局结果为甲获胜，A2表示第3局甲参加比赛时，结果为甲负，A表示第4局甲当裁判，分析其可能情况，每局比赛的结果相互独立且互斥，利用独立事件、互斥事件的概率求解即可．

（II）X的所有可能值为0，1，2．分别求出X取每一个值的概率，列出分布列后求出期望值即可．

【解答】解：（I）令A1表示第2局结果为甲获胜．A2表示第3局甲参加比赛时，结果为甲负．A表示第4局甲当裁判．

则A=A1•A2，P（A）=P（A1•A2）=P（A1）P（A2）=；

（Ⅱ）X的所有可能值为0，1，2．令A3表示第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜．

B1表示第1局结果为乙获胜，B2表示第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜，B3表示第3局乙参加比赛时，结果为乙负，

则P（X=0）=P（B1B2）=P（B1）P（B2）P（）=．

P（X=2）=P（B3）=P（）P（B3）=．

P（X=1）=1﹣P（X=0）﹣P（X=2）=．

从而EX=0×+1×+2×=．

【点评】本题考查互斥、独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和期望等知识，同时考查利用概率知识解决问题的能力．

21．（12分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为．

（I）求a，b；

（II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF1|=|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．

【考点】K4：椭圆的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合

【专题】14：证明题；15：综合题；16：压轴题；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】（I）由题设，可由离心率为3得到参数a，b的关系，将双曲线的方程用参数a表示出来，再由直线建立方程求出参数a即可得到双曲线的方程；

（II）由（I）的方程求出两焦点坐标，设出直线l的方程设A（x1，y1），B（x2，y2），将其与双曲线C的方程联立，得出x1+x2=，，再利用|AF1|=|BF1|建立关于A，B坐标的方程，得出两点横坐标的关系，由此方程求出k的值，得出直线的方程，从而可求得：|AF2|、|AB|、|BF2|，再利用等比数列的性质进行判断即可证明出结论．

【解答】解：（I）由题设知=3，即=9，故b2=8a2

所以C的方程为8x2﹣y2=8a2

将y=2代入上式，并求得x=±，

由题设知，2=，解得a2=1

所以a=1，b=2

（II）由（I）知，F1（﹣3，0），F2（3，0），C的方程为8x2﹣y2=8 ①

由题意，可设l的方程为y=k（x﹣3），|k|＜2代入①并化简得（k2﹣8）x2﹣6k2x+9k2+8=0

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1≤﹣1，x2≥1，x1+x2=，，于是

|AF1|==﹣（3x1+1），

|BF1|==3x2+1，

|AF1|=|BF1|得﹣（3x1+1）=3x2+1，即

故=，解得，从而=﹣

由于|AF2|==1﹣3x1，

|BF2|==3x2﹣1，

故|AB|=|AF2|﹣|BF2|=2﹣3（x1+x2）=4，|AF2||BF2|=3（x1+x2）﹣9x1x2﹣1=16