【考点】9H：平面向量的基本定理；9O：平面向量数量积的性质及其运算

【专题】5A：平面向量及应用．

【分析】由于•=0，对式子=t+（1﹣t）两边与作数量积可得=0，经过化简即可得出．

【解答】解：∵，，∴=0，

∴tcos60°+1﹣t=0，∴1=0，解得t=2．

故答案为2．

【点评】熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键．

14．（5分）若数列{an}的前n项和为Sn=an+，则数列{an}的通项公式是an=（﹣2）n﹣1．

【考点】88：等比数列的通项公式

【专题】54：等差数列与等比数列．

【分析】把n=1代入已知式子可得数列的首项，由n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，可得数列为等比数列，且公比为﹣2，代入等比数列的通项公式分段可得答案．

【解答】解：当n=1时，a1=S1=，解得a1=1

当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（）﹣（）=，

整理可得，即=﹣2，

故数列{an}从第二项开始是以﹣2为首项，﹣2为公比的等比数列，

故当n≥2时，an=（﹣2）n﹣1，

经验证当n=1时，上式也适合，

故答案为：（﹣2）n﹣1

【点评】本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的判定，属基础题．

15．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=﹣．

【考点】GP：两角和与差的三角函数；H4：正弦函数的定义域和值域

【专题】16：压轴题；56：三角函数的求值．

【分析】f（x）解析式提取，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x=θ时，函数f（x）取得最大值，得到sinθ﹣2cosθ=，与sin2θ+cos2θ=1联立即可求出cosθ的值．

【解答】解：f（x）=sinx﹣2cosx=（sinx﹣cosx）=sin（x﹣α）（其中cosα=，sinα=），

∵x=θ时，函数f（x）取得最大值，

∴sin（θ﹣α）=1，即sinθ﹣2cosθ=，

又sin2θ+cos2θ=1，

联立得（2cosθ+）2+cos2θ=1，解得cosθ=﹣．

故答案为：﹣

【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．

16．（5分）若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为16．

【考点】57：函数与方程的综合运用；6E：利用导数研究函数的最值

【专题】11：计算题；16：压轴题；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．

【分析】由题意得f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，由此求出a=8且b=15，由此可得f（x）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15．利用导数研究f（x）的单调性，可得f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数，结合f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16，即可得到f（x）的最大值．

【解答】解：∵函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，

∴f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，

即[1﹣（﹣3）2][（﹣3）2+a•（﹣3）+b]=0且[1﹣（﹣5）2][（﹣5）2+a•（﹣5）+b]=0，

解之得，

因此，f（x）=（1﹣x2）（x2+8x+15）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15，

求导数，得f′（x）=﹣4x3﹣24x2﹣28x+8，