【考点】K4：椭圆的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合

【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】（Ⅰ）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；

（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，利用△＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程．

【解答】解：（Ⅰ） 设F（c，0），由条件知，得又，

所以a=2，b2=a2﹣c2=1，故E的方程．…．（5分）

（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）

将y=kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，

当△=16（4k2﹣3）＞0，即时，

从而

又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积=，

设，则t＞0，，

当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，

所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x﹣2或y=﹣x﹣2．…（12分）

【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．

21．（12分）设函数f（x）=aexlnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2．

（Ⅰ）求a、b；

（Ⅱ）证明：f（x）＞1．

【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程

【专题】15：综合题；53：导数的综合应用．

【分析】（Ⅰ）求出定义域，导数f′（x），根据题意有f（1）=2，f′（1）=e，解出即可；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，函数h（x）=，只需证明g（x）min＞h（x）max，利用导数可分别求得g（x）min，h（x）max；

【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），

f′（x）=+，

由题意可得f（1）=2，f′（1）=e，

故a=1，b=2；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=exlnx+，

∵f（x）＞1，∴exlnx+＞1，∴lnx＞﹣，

∴f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，则g′（x）=1+lnx，

∴当x∈（0，）时，g′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0．

故g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（）=﹣．

设函数h（x）=xe﹣x﹣，则h′（x）=e﹣x（1﹣x）．

∴当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，

故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，

从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣．

综上，当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．

【点评】本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．

选修4-1：几何证明选讲

22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．

（Ⅰ）证明：∠D=∠E；