（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++=．证明：||，||，||成等差数列，并求该数列的公差．

【考点】K3：椭圆的标准方程；KL：直线与椭圆的综合．菁优网版权所有

【专题】35：转化思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．

【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法得6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）=0，k==﹣=﹣

又点M（1，m）在椭圆内，即，解得m的取值范围，即可得k＜﹣，

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），可得x1+x2=2

由++=，可得x3﹣1=0，由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex1=2﹣x1，|FB|=2﹣x2，|FP|=2﹣x3=．即可证明|FA|+|FB|=2|FP|，求得A，B坐标再求公差．

【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），

∵线段AB的中点为M（1，m），

∴x1+x2=2，y1+y2=2m

将A，B代入椭圆C：+=1中，可得

，

两式相减可得，3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，

即6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）=0，

∴k==﹣=﹣

点M（1，m）在椭圆内，即，

解得0＜m

∴．

（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），

可得x1+x2=2，

∵++=，F（1，0），∴x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1=0，y1+y2+y3=0，

∴x3=1，y3=﹣（y1+y2）=﹣2m

∵m＞0，可得P在第四象限，故y3=﹣，m=，k=﹣1

由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex1=2﹣x1，|FB|=2﹣x2，|FP|=2﹣x3=．

则|FA|+|FB|=4﹣，∴|FA|+|FB|=2|FP|，

联立，可得|x1﹣x2|=

所以该数列的公差d满足2d=|x1﹣x2|=，

∴该数列的公差为±．

【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查了点差法、焦半径公式，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用与计算能力的考查．属于中档题．

21．（12分）已知函数f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）﹣2x．

（1）若a=0，证明：当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0；当x＞0时，f（x）＞0；

（2）若x=0是f（x）的极大值点，求a．

【考点】6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有

【专题】34：方程思想；35：转化思想；48：分析法；53：导数的综合应用．

【分析】（1）对函数f（x）两次求导数，分别判断f′（x）和f（x）的单调性，结合f（0）=0即可得出结论；

（2）令h（x）为f′（x）的分子，令h″（0）计算a，讨论a的范围，得出f（x）的单调性，从而得出a的值．

【解答】（1）证明：当a=0时，f（x）=（2+x）ln（1+x）﹣2x，（x＞﹣1）．

，，

可得x∈（﹣1，0）时，f″（x）≤0，x∈（0，+∞）时，f″（x）≥0

∴f′（x）在（﹣1，0）递减，在（0，+∞）递增，