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全国统一高考数学试卷(理科)
大小:0B 13页 发布时间: 2024-01-31 08:06:27 9.11k 8.56k

∴f′(x)≥f′(0)=0,

∴f(x)=(2+x)ln(1+x)﹣2x在(﹣1,+∞)上单调递增,又f(0)=0.

∴当﹣1<x<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0.

(2)解:由f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)﹣2x,得

f′(x)=(1+2ax)ln(1+x)+﹣2=

令h(x)=ax2﹣x+(1+2ax)(1+x)ln(x+1),

h′(x)=4ax+(4ax+2a+1)ln(x+1).

当a≥0,x>0时,h′(x)>0,h(x)单调递增,

∴h(x)>h(0)=0,即f′(x)>0,

∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,故x=0不是f(x)的极大值点,不符合题意.

当a<0时,h″(x)=8a+4aln(x+1)+

显然h″(x)单调递减,

①令h″(0)=0,解得a=﹣

∴当﹣1<x<0时,h″(x)>0,当x>0时,h″(x)<0,

∴h′(x)在(﹣1,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,

∴h′(x)≤h′(0)=0,

∴h(x)单调递减,又h(0)=0,

∴当﹣1<x<0时,h(x)>0,即f′(x)>0,

当x>0时,h(x)<0,即f′(x)<0,

∴f(x)在(﹣1,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,

∴x=0是f(x)的极大值点,符合题意;

②若﹣<a<0,则h″(0)=1+6a>0,h″(e﹣1)=(2a﹣1)(1﹣e)<0,

∴h″(x)=0在(0,+∞)上有唯一一个零点,设为x0,

∴当0<x<x0时,h″(x)>0,h′(x)单调递增,

∴h′(x)>h′(0)=0,即f′(x)>0,

∴f(x)在(0,x0)上单调递增,不符合题意;

③若a<﹣,则h″(0)=1+6a<0,h″(﹣1)=(1﹣2a)e2>0,

∴h″(x)=0在(﹣1,0)上有唯一一个零点,设为x1,

∴当x1<x<0时,h″(x)<0,h′(x)单调递减,

∴h′(x)>h′(0)=0,∴h(x)单调递增,

∴h(x)<h(0)=0,即f′(x)<0,

∴f(x)在(x1,0)上单调递减,不符合题意.

综上,a=﹣

【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系,函数单调性与极值的计算,零点的存在性定理,属于难题.

(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)

22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,⊙O的参数方程为,(θ为参数),过点(0,﹣)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A,B两点.

(1)求α的取值范围;

(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.

【考点】QK:圆的参数方程.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;35:转化思想;49:综合法;5S:坐标系和参数方程.

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