【分析】（1）⊙O的普通方程为x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1，当α=时，直线l的方程为x=0，成立；当α≠时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα•x+，从而圆心O（0，0）到直线l的距离d=＜1，进而求出或，由此能求出α的取值范围．

（2）设直线l的方程为x=m（y+），联立，得（m2+1）y2+2+2m2﹣1=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式能求出AB中点P的轨迹的参数方程．

【解答】解：（1）∵⊙O的参数方程为（θ为参数），

∴⊙O的普通方程为x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1，

当α=时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为x=0，成立；

当α≠时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα•x﹣，

∵倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点，

∴圆心O（0，0）到直线l的距离d=＜1，

∴tan2α＞1，∴tanα＞1或tanα＜﹣1，

∴或，

综上α的取值范围是（，）．

（2）由（1）知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=m（y+），

设A（x1，y1），（B（x2，y2），P（x3，y3），

联立，得（m2+1）y2+2+2m2﹣1=0，

，

=﹣+2，

=，=﹣，

∴AB中点P的轨迹的参数方程为，（m为参数），（﹣1＜m＜1）．

【点评】本题考查直线直线的倾斜角的取值范围的求法，考查线段的中点的参数方程的求法，考查参数方程、直角坐标方和、韦达定理、中点坐标公式等基础知识，考查数形结合思想的灵活运用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．

[选修4-5：不等式选讲]（10分）

23．设函数f（x）=|2x+1|+|x﹣1|．

（1）画出y=f（x）的图象；

（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，求a+b的最小值．

【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；5B：分段函数的应用．菁优网版权所有

【专题】31：数形结合；4R：转化法；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用．

【分析】（1）利用分段函数的性质将函数表示为分段函数形式进行作图即可．

（2）将不等式恒成立转化为图象关系进行求解即可．

【解答】解：（1）当x≤﹣时，f（x）=﹣（2x+1）﹣（x﹣1）=﹣3x，

当﹣＜x＜1，f（x）=（2x+1）﹣（x﹣1）=x+2，

当x≥1时，f（x）=（2x+1）+（x﹣1）=3x，

则f（x）=对应的图象为：

画出y=f（x）的图象；

（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，

当x=0时，f（0）=2≤0•a+b，∴b≥2，

当x＞0时，要使f（x）≤ax+b恒成立，

则函数f（x）的图象都在直线y=ax+b的下方或在直线上，

∵f（x）的图象与y轴的交点的纵坐标为2，

且各部分直线的斜率的最大值为3，

故当且仅当a≥3且b≥2时，不等式f（x）≤ax+b在[0，+∞）上成立，