【专题】11:计算题;38:对应思想;4O:定义法;57:三角函数的图像与性质.
【分析】由题意可得f(x)=cos(3x+)=0,可得3x+=+kπ,k∈Z,即x=+kπ,即可求出.
【解答】解:∵f(x)=cos(3x+)=0,
∴3x+=+kπ,k∈Z,
∴x=+kπ,k∈Z,
当k=0时,x=,
当k=1时,x=π,
当k=2时,x=π,
当k=3时,x=π,
∵x∈[0,π],
∴x=,或x=π,或x=π,
故零点的个数为3,
故答案为:3
【点评】本题考查了余弦函数的图象和性质以及函数零点的问题,属于基础题.
16.(5分)已知点M(﹣1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若∠AMB=90°,则k=
2.
【考点】K8:抛物线的性质;KN:直线与抛物线的综合.菁优网版权所有
【专题】11:计算题;34:方程思想;35:转化思想;49:综合法;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】由已知可求过A,B两点的直线方程为y=k(x﹣1),然后联立直线与抛物线方程组可得,k2x2﹣2(2+k2)x+k2=0,可表示x1+x2,x1x2,y1+y2,y1y2,由∠AMB=90°,向量的数量积为0,代入整理可求k.
【解答】解:∵抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0),
∴过A,B两点的直线方程为y=k(x﹣1),
联立可得,k2x2﹣2(2+k2)x+k2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则 x1+x2=,x1x2=1,
∴y1+y2=k(x1+x2﹣2)=,y1y2=k2(x1﹣1)(x2﹣1)=k2[x1x2﹣(x1+x2)+1]=﹣4,
∵M(﹣1,1),
∴=(x1+1,y1﹣1),=(x2+1,y2﹣1),
∵∠AMB=90°,∴•=0
∴(x1+1)(x2+1)+(y1﹣1)(y2﹣1)=0,
整理可得,x1x2+(x1+x2)+y1y2﹣(y1+y2)+2=0,
∴1+2+﹣4﹣+2=0,
即k2﹣4k+4=0,
∴k=2.
故答案为:2
【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的相交关系的应用,解题的难点是本题具有较大的计算量.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。
17.(12分)等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记Sn为{an}的前n项和.若Sm=63,求m.
【考点】89:等比数列的前n项和.菁优网版权所有