第一种生产方式15520

第二种生产方式51520

总计202040

（3）根据（2）中的列联表，计算

K2===10＞6.635，

∴能有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．

【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．

19．（12分）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．

（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；

（2）当三棱锥M﹣ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．

【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有

【专题】35：转化思想；4R：转化法；5F：空间位置关系与距离；5H：空间向量及应用．

【分析】（1）根据面面垂直的判定定理证明MC⊥平面ADM即可．

（2）根据三棱锥的体积最大，确定M的位置，建立空间直角坐标系，求出点的坐标，利用向量法进行求解即可．

【解答】解：（1）证明：在半圆中，DM⊥MC，

∵正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，

∴AD⊥平面DCM，则AD⊥MC，

∵AD∩DM=D，

∴MC⊥平面ADM，

∵MC⊂平面MBC，

∴平面AMD⊥平面BMC．

（2）∵△ABC的面积为定值，

∴要使三棱锥M﹣ABC体积最大，则三棱锥的高最大，

此时M为圆弧的中点，

建立以O为坐标原点，如图所示的空间直角坐标系如图

∵正方形ABCD的边长为2，

∴A（2，﹣1，0），B（2，1，0），M（0，0，1），

则平面MCD的法向量=（1，0，0），

设平面MAB的法向量为=（x，y，z）

则=（0，2，0），=（﹣2，1，1），

由•=2y=0，•=﹣2x+y+z=0，

令x=1，

则y=0，z=2，即=（1，0，2），

则cos＜，＞===，

则面MAB与面MCD所成二面角的正弦值sinα==．

【点评】本题主要考查空间平面垂直的判定以及二面角的求解，利用相应的判定定理以及建立坐标系，利用向量法是解决本题的关键．

20．（12分）已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．

（1）证明：k＜﹣；