∴EY=2n×0.4+（1200﹣2n）×0.4+（800﹣2n）×0.2=640﹣0.4n，

当200≤n≤300时，

若最高气温不低于20，则Y=6n﹣4n=2n，

若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n﹣200）﹣4n=800﹣2n，

∴EY=2n×（0.4+0.4）+（800﹣2n）×0.2=160+1.2n．

∴n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元．

【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的求法，考查数学期望的最大值的求法，考查函数、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想，是中档题．

19．（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．

（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；

（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．

【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有

【专题】31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．

【分析】（1）如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD．△ABC是等边三角形，可得OB⊥AC．由已知可得：△ABD≌△CBD，AD=CD．△ACD是直角三角形，可得AC是斜边，∠ADC=90°．可得DO=AC．利用DO2+BO2=AB2=BD2．可得OB⊥OD．利用线面面面垂直的判定与性质定理即可证明．

（2）设点D，B到平面ACE的距离分别为hD，hE．则=．根据平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，可得===1，即点E是BD的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．不妨取AB=2．利用法向量的夹角公式即可得出．

【解答】（1）证明：如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD．

∵△ABC是等边三角形，∴OB⊥AC．

△ABD与△CBD中，AB=BD=BC，∠ABD=∠CBD，

∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD．

∵△ACD是直角三角形，

∴AC是斜边，∴∠ADC=90°．

∴DO=AC．

∴DO2+BO2=AB2=BD2．

∴∠BOD=90°．

∴OB⊥OD．

又DO∩AC=O，∴OB⊥平面ACD．

又OB⊂平面ABC，

∴平面ACD⊥平面ABC．

（2）解：设点D，B到平面ACE的距离分别为hD，hE．则=．

∵平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，

∴===1．

∴点E是BD的中点．

建立如图所示的空间直角坐标系．不妨取AB=2．

则O（0，0，0），A（1，0，0），C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0，，0），E．

=（﹣1，0，1），=，=（﹣2，0，0）．

设平面ADE的法向量为=（x，y，z），则，即，取=．

同理可得：平面ACE的法向量为=（0，1，）．

∴cos===﹣．

∴二面角D﹣AE﹣C的余弦值为．