【点评】本题考查了空间位置关系、空间角、三棱锥的体积计算公式、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

20．（12分）已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．

（1）证明：坐标原点O在圆M上；

（2）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程．

【考点】KN：直线与抛物线的综合．菁优网版权所有

【专题】35：转化思想；41：向量法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】（1）方法一：分类讨论，当直线斜率不存在时，求得A和B的坐标，由•=0，则坐标原点O在圆M上；当直线l斜率存在，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的可得•=0，则坐标原点O在圆M上；

方法二：设直线l的方程x=my+2，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得•=0，则坐标原点O在圆M上；

（2）由题意可知：•=0，根据向量数量积的坐标运算，即可求得k的值，求得M点坐标，则半径r=丨MP丨，即可求得圆的方程．

【解答】解：方法一：证明：（1）当直线l的斜率不存在时，则A（2，2），B（2，﹣2），

则=（2，2），=（2，﹣2），则•=0，

∴⊥，

则坐标原点O在圆M上；

当直线l的斜率存在，设直线l的方程y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），

，整理得：k2x2﹣（4k2+2）x+4k2=0，

则x1x2=4，4x1x2=y12y22=（y1y2）2，由y1y2＜0，

则y1y2=﹣4，

由•=x1x2+y1y2=0，

则⊥，则坐标原点O在圆M上，

综上可知：坐标原点O在圆M上；

方法二：设直线l的方程x=my+2，

，整理得：y2﹣2my﹣4=0，A（x1，y1），B（x2，y2），

则y1y2=﹣4，

则（y1y2）2=4x1x2，则x1x2=4，则•=x1x2+y1y2=0，

则⊥，则坐标原点O在圆M上，

∴坐标原点O在圆M上；

（2）由（1）可知：x1x2=4，x1+x2=，y1+y2=，y1y2=﹣4，

圆M过点P（4，﹣2），则=（4﹣x1，﹣2﹣y1），=（4﹣x2，﹣2﹣y2），

由•=0，则（4﹣x1）（4﹣x2）+（﹣2﹣y1）（﹣2﹣y2）=0，

整理得：k2+k﹣2=0，解得：k=﹣2，k=1，

当k=﹣2时，直线l的方程为y=﹣2x+4，

则x1+x2=，y1+y2=﹣1，

则M（，﹣），半径为r=丨MP丨==，

∴圆M的方程（x﹣）2+（y+）2=．

当直线斜率k=1时，直线l的方程为y=x﹣2，

同理求得M（3，1），则半径为r=丨MP丨=，

∴圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10，

综上可知：直线l的方程为y=﹣2x+4，圆M的方程（x﹣）2+（y+）2=，

或直线l的方程为y=x﹣2，圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10．

【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．