21．（12分）已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx．

（1）若f（x）≥0，求a的值；

（2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值．

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；32：分类讨论；49：综合法；53：导数的综合应用．

【分析】（1）通过对函数f（x）=x﹣1﹣alnx（x＞0）求导，分a≤0、a＞0两种情况考虑导函数f′（x）与0的大小关系可得结论；

（2）通过（1）可知lnx≤x﹣1，进而取特殊值可知ln（1+）＜，k∈N*．一方面利用等比数列的求和公式放缩可知（1+）（1+）…（1+）＜e，另一方面可知（1+）（1+）…（1+）＞2，从而当n≥3时，（1+）（1+）…（1+）∈（2，e），比较可得结论．

【解答】解：（1）因为函数f（x）=x﹣1﹣alnx，x＞0，

所以f′（x）=1﹣=，且f（1）=0．

所以当a≤0时f′（x）＞0恒成立，此时y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，这与f（x）≥0矛盾；

当a＞0时令f′（x）=0，解得x=a，

所以y=f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，即f（x）min=f（a），

若a≠1，则f（a）＜f（1）=0，从而与f（x）≥0矛盾；

所以a=1；

（2）由（1）可知当a=1时f（x）=x﹣1﹣lnx≥0，即lnx≤x﹣1，

所以ln（x+1）≤x当且仅当x=0时取等号，

所以ln（1+）＜，k∈N*．

ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）＜++…+=1﹣＜1，

即（1+）（1+）…（1+）＜e；

因为m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m成立，

当n=3时，不等式左边大于2，

所以m的最小值为3．

【点评】本题是一道关于函数与不等式的综合题，考查分类讨论的思想，考查转化与化归思想，考查运算求解能力，考查等比数列的求和公式，考查放缩法，注意解题方法的积累，属于难题．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为，（t为参数），直线l2的参数方程为，（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．

（1）写出C的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）﹣=0，M为l3与C的交点，求M的极径．

【考点】QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有

【专题】34：方程思想；4Q：参数法；4R：转化法；5S：坐标系和参数方程．

【分析】解：（1）分别消掉参数t与m可得直线l1与直线l2的普通方程为y=k（x﹣2）①与x=﹣2+ky②；联立①②，消去k可得C的普通方程为x2﹣y2=4；

（2）将l3的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）﹣=0化为普通方程：x+y﹣=0，再与曲线C的方程联立，可得，即可求得l3与C的交点M的极径为ρ=．

【解答】解：（1）∵直线l1的参数方程为，（t为参数），

∴消掉参数t得：直线l1的普通方程为：y=k（x﹣2）①；

又直线l2的参数方程为，（m为参数），

同理可得，直线l2的普通方程为：x=﹣2+ky②；

联立①②，消去k得：x2﹣y2=4，即C的普通方程为x2﹣y2=4（x≠2且y≠0）；

（2）∵l3的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）﹣=0，

∴其普通方程为：x+y﹣=0，

联立得：，

∴ρ2=x2+y2=+=5．