A.4 B. C. D.2
7.(5分)为计算S=1﹣+﹣+…+﹣,设计了如图的程序框图,则在空白框中应填入()
A.i=i+1 B.i=i+2 C.i=i+3 D.i=i+4
8.(5分)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是()
A. B. C. D.
9.(5分)在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()
A. B. C. D.
10.(5分)若f(x)=cosx﹣sinx在[﹣a,a]是减函数,则a的最大值是()
A. B. C. D.π
11.(5分)已知f(x)是定义域为(﹣∞,+∞)的奇函数,满足f(1﹣x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=()
A.﹣50 B.0 C.2 D.50
12.(5分)已知F1,F2是椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.(5分)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 .
14.(5分)若x,y满足约束条件,则z=x+y的最大值为 .
15.(5分)已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,则sin(α+β)= .
16.(5分)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为,SA与圆锥底面所成角为45°,若△SAB的面积为5,则该圆锥的侧面积为 .
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根要求作答。(一)必考题:共60分。
17.(12分)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=﹣7,S3=﹣15.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求Sn,并求Sn的最小值.
18.(12分)如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,17)建立模型①:=﹣30.4+13.5t;根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,7)建立模型②:=99+17.5t.
(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.
19.(12分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.
(1)求l的方程;
(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.
20.(12分)如图,在三棱锥P﹣ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.
(1)证明:PO⊥平面ABC;
(2)若点M在棱BC上,且二面角M﹣PA﹣C为30°,求PC与平面PAM所成角的正弦值.
21.(12分)已知函数f(x)=ex﹣ax2.
(1)若a=1,证明:当x≥0时,f(x)≥1;
(2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求a.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。[选修4-4:坐标系与参数方程]
22.(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为,(θ为参数),直线l的参数方程为,(t为参数).