8．（5分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）

A． B． C． D．

【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有

【专题】36：整体思想；4O：定义法；5I：概率与统计．

【分析】利用列举法先求出不超过30的所有素数，利用古典概型的概率公式进行计算即可．

【解答】解：在不超过30的素数中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，

从中选2个不同的数有=45种，

和等于30的有（7，23），（11，19），（13，17），共3种，

则对应的概率P==，

故选：C．

【点评】本题主要考查古典概型的概率的计算，求出不超过30的素数是解决本题的关键．

9．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（）

A． B． C． D．

【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角．

【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AD1与DB1所成角的余弦值．

【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，

∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，

AA1=，

∴A（1，0，0），D1（0，0，），D（0，0，0），

B1（1，1，），

=（﹣1，0，），=（1，1，），

设异面直线AD1与DB1所成角为θ，

则cosθ===，

∴异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为．

故选：C．

【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

10．（5分）若f（x）=cosx﹣sinx在[﹣a，a]是减函数，则a的最大值是（）

A． B． C． D．π

【考点】GP：两角和与差的三角函数；H5：正弦函数的单调性．菁优网版权所有

【专题】33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．

【分析】利用两角和差的正弦公式化简f（x），由，k∈Z，得，k∈Z，取k=0，得f（x）的一个减区间为[，]，结合已知条件即可求出a的最大值．

【解答】解：f（x）=cosx﹣sinx=﹣（sinx﹣cosx）=，

由，k∈Z，

得，k∈Z，

取k=0，得f（x）的一个减区间为[，]，

由f（x）在[﹣a，a]是减函数，

得，∴．

则a的最大值是．