【考点】KN：直线与抛物线的综合．菁优网版权所有

【专题】35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】（1）方法一：设直线AB的方程，代入抛物线方程，根据抛物线的焦点弦公式即可求得k的值，即可求得直线l的方程；

方法二：根据抛物线的焦点弦公式|AB|=，求得直线AB的倾斜角，即可求得直线l的斜率，求得直线l的方程；

（2）根据过A，B分别向准线l作垂线，根据抛物线的定义即可求得半径，根据中点坐标公式，即可求得圆心，求得圆的方程．

【解答】解：（1）方法一：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），

设直线AB的方程为：y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），

则，整理得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，则x1+x2=，x1x2=1，

由|AB|=x1+x2+p=+2=8，解得：k2=1，则k=1，

∴直线l的方程y=x﹣1；

方法二：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），设直线AB的倾斜角为θ，由抛物线的弦长公式|AB|===8，解得：sin2θ=，

∴θ=，则直线的斜率k=1，

∴直线l的方程y=x﹣1；

（2）由（1）可得AB的中点坐标为D（3，2），则直线AB的垂直平分线方程为y﹣2=﹣（x﹣3），即y=﹣x+5，

设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则，

解得：或，

因此，所求圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=16或（x﹣11）2+（y+6）2=144．

【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，抛物线的焦点弦公式，考查圆的标准方程，考查转换思想思想，属于中档题．

20．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．

（1）证明：PO⊥平面ABC；

（2）若点M在棱BC上，且二面角M﹣PA﹣C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．

【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有

【专题】35：转化思想；41：向量法；4R：转化法；5F：空间位置关系与距离；5H：空间向量及应用．

【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明PO⊥AC，PO⊥OB即可；

（2）根据二面角的大小求出平面PAM的法向量，利用向量法即可得到结论．

【解答】（1）证明：连接BO，

∵AB=BC=2，O是AC的中点，

∴BO⊥AC，且BO=2，

又PA=PC=PB=AC=4，

∴PO⊥AC，PO=2，

则PB2=PO2+BO2，

则PO⊥OB，

∵OB∩AC=O，

∴PO⊥平面ABC；

（2）建立以O坐标原点，OB，OC，OP分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：

A（0，﹣2，0），P（0，0，2），C（0，2，0），B（2，0，0），

=（﹣2，2，0），

设=λ=（﹣2λ，2λ，0），0＜λ＜1