则=﹣=（﹣2λ，2λ，0）﹣（﹣2，﹣2，0）=（2﹣2λ，2λ+2，0），

则平面PAC的法向量为=（1，0，0），

设平面MPA的法向量为=（x，y，z），

则=（0，﹣2，﹣2），

则•=﹣2y﹣2z=0，•=（2﹣2λ）x+（2λ+2）y=0

令z=1，则y=﹣，x=，

即=（，﹣，1），

∵二面角M﹣PA﹣C为30°，

∴cos30°=|=，

即=，

解得λ=或λ=3（舍），

则平面MPA的法向量=（2，﹣，1），

=（0，2，﹣2），

PC与平面PAM所成角的正弦值sinθ=|cos＜，＞|=||==．

【点评】本题主要考查空间直线和平面的位置关系的应用以及二面角，线面角的求解，建立坐标系求出点的坐标，利用向量法是解决本题的关键．

21．（12分）已知函数f（x）=ex﹣ax2．

（1）若a=1，证明：当x≥0时，f（x）≥1；

（2）若f（x）在（0，+∞）只有一个零点，求a．

【考点】6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有

【专题】35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．

【分析】（1）通过两次求导，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可证明，

（2）方法一、分离参数可得a=在（0，+∞）只有一个根，即函数y=a与G（x）=的图象在（0，+∞）只有一个交点．结合图象即可求得a．

方法二、：①当a≤0时，f（x）=ex﹣ax2＞0，f（x）在（0，+∞）没有零点．．

②当a≤0时，设函数h（x）=1﹣ax2e﹣x．f（x）在（0，+∞）只有一个零点⇔h（x）在（0，+∞）只有一个零点．

利用 h′（x）=x（x﹣2）e﹣x，可得h（x））在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，结合函数h（x）图象即可求得a．

【解答】证明：（1）当a=1时，函数f（x）=ex﹣x2．

则f′（x）=ex﹣2x，

令g（x）=ex﹣2x，则g′（x）=ex﹣2，

令g′（x）=0，得x=ln2．

当x∈（0，ln2）时，g′（x）＜0，当x∈（ln2，+∞）时，g′（x）＞0，

∴g（x）≥g（ln2）=eln2﹣2•ln2=2﹣2ln2＞0，

∴f（x）在[0，+∞）单调递增，∴f（x）≥f（0）=1，

解：（2）方法一、，f（x）在（0，+∞）只有一个零点⇔方程ex﹣ax2=0在（0，+∞）只有一个根，

⇔a=在（0，+∞）只有一个根，

即函数y=a与G（x）=的图象在（0，+∞）只有一个交点．

G，

当x∈（0，2）时，G′（x）＜0，当∈（2，+∞）时，G′（x）＞0，

∴G（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，

当→0时，G（x）→+∞，当→+∞时，G（x）→+∞，