【解答】（Ⅰ）证明：连接RF，PF，

由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°，

∴∠PFQ=90°，

∵R是PQ的中点，

∴RF=RP=RQ，

∴△PAR≌△FAR，

∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，

∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR，

∴∠FQB=∠PAR，

∴∠PRA=∠PQF，

∴AR∥FQ．

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），

F（，0），准线为 x=﹣，

S△PQF=|PQ|=|y1﹣y2|，

设直线AB与x轴交点为N，

∴S△ABF=|FN||y1﹣y2|，

∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，

∴2|FN|=1，∴xN=1，即N（1，0）．

设AB中点为M（x，y），由得=2（x1﹣x2），

又=，

∴=，即y2=x﹣1．

∴AB中点轨迹方程为y2=x﹣1．

【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题．

21．（12分）设函数f（x）=lnx﹣x+1．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）证明当x∈（1，+∞）时，1＜＜x；

（3）设c＞1，证明当x∈（0，1）时，1+（c﹣1）x＞cx．

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有

【专题】35：转化思想；48：分析法；53：导数的综合应用；59：不等式的解法及应用．

【分析】（1）求出导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意函数的定义域；

（2）由题意可得即证lnx＜x﹣1＜xlnx．运用（1）的单调性可得lnx＜x﹣1，设F（x）=xlnx﹣x+1，x＞1，求出单调性，即可得到x﹣1＜xlnx成立；

（3）设G（x）=1+（c﹣1）x﹣cx，求G（x）的二次导数，判断G′（x）的单调性，进而证明原不等式．

【解答】解：（1）函数f（x）=lnx﹣x+1的导数为f′（x）=﹣1，

由f′（x）＞0，可得0＜x＜1；由f′（x）＜0，可得x＞1．

即有f（x）的增区间为（0，1）；减区间为（1，+∞）；

（2）证明：当x∈（1，+∞）时，1＜＜x，即为lnx＜x﹣1＜xlnx．

由（1）可得f（x）=lnx﹣x+1在（1，+∞）递减，

可得f（x）＜f（1）=0，即有lnx＜x﹣1；

设F（x）=xlnx﹣x+1，x＞1，F′（x）=1+lnx﹣1=lnx，