【解答】(Ⅰ)证明:连接RF,PF,
由AP=AF,BQ=BF及AP∥BQ,得∠AFP+∠BFQ=90°,
∴∠PFQ=90°,
∵R是PQ的中点,
∴RF=RP=RQ,
∴△PAR≌△FAR,
∴∠PAR=∠FAR,∠PRA=∠FRA,
∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR,
∴∠FQB=∠PAR,
∴∠PRA=∠PQF,
∴AR∥FQ.
(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),
F(,0),准线为 x=﹣,
S△PQF=|PQ|=|y1﹣y2|,
设直线AB与x轴交点为N,
∴S△ABF=|FN||y1﹣y2|,
∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,
∴2|FN|=1,∴xN=1,即N(1,0).
设AB中点为M(x,y),由得=2(x1﹣x2),
又=,
∴=,即y2=x﹣1.
∴AB中点轨迹方程为y2=x﹣1.
【点评】本题考查抛物线的方程与性质,考查轨迹方程,考查学生的计算能力,属于中档题.
21.(12分)设函数f(x)=lnx﹣x+1.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)证明当x∈(1,+∞)时,1<<x;
(3)设c>1,证明当x∈(0,1)时,1+(c﹣1)x>cx.
【考点】6B:利用导数研究函数的单调性;6E:利用导数研究函数的最值.菁优网版权所有
【专题】35:转化思想;48:分析法;53:导数的综合应用;59:不等式的解法及应用.
【分析】(1)求出导数,由导数大于0,可得增区间;导数小于0,可得减区间,注意函数的定义域;
(2)由题意可得即证lnx<x﹣1<xlnx.运用(1)的单调性可得lnx<x﹣1,设F(x)=xlnx﹣x+1,x>1,求出单调性,即可得到x﹣1<xlnx成立;
(3)设G(x)=1+(c﹣1)x﹣cx,求G(x)的二次导数,判断G′(x)的单调性,进而证明原不等式.
【解答】解:(1)函数f(x)=lnx﹣x+1的导数为f′(x)=﹣1,
由f′(x)>0,可得0<x<1;由f′(x)<0,可得x>1.
即有f(x)的增区间为(0,1);减区间为(1,+∞);
(2)证明:当x∈(1,+∞)时,1<<x,即为lnx<x﹣1<xlnx.
由(1)可得f(x)=lnx﹣x+1在(1,+∞)递减,
可得f(x)<f(1)=0,即有lnx<x﹣1;
设F(x)=xlnx﹣x+1,x>1,F′(x)=1+lnx﹣1=lnx,