当x>1时,F′(x)>0,可得F(x)递增,即有F(x)>F(1)=0,
即有xlnx>x﹣1,则原不等式成立;
(3)证明:设G(x)=1+(c﹣1)x﹣cx,
则需要证明:当x∈(0,1)时,G(x)>0(c>1);
G′(x)=c﹣1﹣cxlnc,G′′(x)=﹣(lnc)2cx<0,
∴G′(x)在(0,1)单调递减,而G′(0)=c﹣1﹣lnc,G′(1)=c﹣1﹣clnc,
由(1)中f(x)的单调性,可得G′(0)=c﹣1﹣lnc>0,由(2)可得G′(1)=c﹣1﹣clnc=c(1﹣lnc)﹣1<0,
∴∃t∈(0,1),使得G′(t)=0,即x∈(0,t)时,G′(x)>0,x∈(t,1)时,G′(x)<0;
即G(x)在(0,t)递增,在(t,1)递减;
又因为:G(0)=G(1)=0,
∴x∈(0,1)时G(x)>0成立,不等式得证;
即c>1,当x∈(0,1)时,1+(c﹣1)x>cx.
【点评】本题考查导数的运用:求单调区间和极值、最值,考查不等式的证明,注意运用构造函数法,求出导数判断单调性,考查推理和运算能力,属于中档题.
请考生在第22-24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-1:几何证明选讲]
22.(10分)如图,⊙O中的中点为P,弦PC,PD分别交AB于E,F两点.
(1)若∠PFB=2∠PCD,求∠PCD的大小;
(2)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G,证明:OG⊥CD.
【考点】NC:与圆有关的比例线段.菁优网版权所有
【专题】35:转化思想;49:综合法;5M:推理和证明.
【分析】(1)连接PA,PB,BC,设∠PEB=∠1,∠PCB=∠2,∠ABC=∠3,∠PBA=∠4,∠PAB=∠5,运用圆的性质和四点共圆的判断,可得E,C,D,F共圆,再由圆内接四边形的性质,即可得到所求∠PCD的度数;
(2)运用圆的定义和E,C,D,F共圆,可得G为圆心,G在CD的中垂线上,即可得证.
【解答】(1)解:连接PB,BC,
设∠PEB=∠1,∠PCB=∠2,∠ABC=∠3,
∠PBA=∠4,∠PAB=∠5,
由⊙O中的中点为P,可得∠4=∠5,
在△EBC中,∠1=∠2+∠3,
又∠D=∠3+∠4,∠2=∠5,
即有∠2=∠4,则∠D=∠1,
则四点E,C,D,F共圆,
可得∠EFD+∠PCD=180°,
由∠PFB=∠EFD=2∠PCD,
即有3∠PCD=180°,
可得∠PCD=60°;
(2)证明:由C,D,E,F共圆,
由EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G
可得G为圆心,即有GC=GD,
则G在CD的中垂线,又CD为圆G的弦,
则OG⊥CD.