当x＞1时，F′（x）＞0，可得F（x）递增，即有F（x）＞F（1）=0，

即有xlnx＞x﹣1，则原不等式成立；

（3）证明：设G（x）=1+（c﹣1）x﹣cx，

则需要证明：当x∈（0，1）时，G（x）＞0（c＞1）；

G′（x）=c﹣1﹣cxlnc，G′′（x）=﹣（lnc）2cx＜0，

∴G′（x）在（0，1）单调递减，而G′（0）=c﹣1﹣lnc，G′（1）=c﹣1﹣clnc，

由（1）中f（x）的单调性，可得G′（0）=c﹣1﹣lnc＞0，由（2）可得G′（1）=c﹣1﹣clnc=c（1﹣lnc）﹣1＜0，

∴∃t∈（0，1），使得G′（t）=0，即x∈（0，t）时，G′（x）＞0，x∈（t，1）时，G′（x）＜0；

即G（x）在（0，t）递增，在（t，1）递减；

又因为：G（0）=G（1）=0，

∴x∈（0，1）时G（x）＞0成立，不等式得证；

即c＞1，当x∈（0，1）时，1+（c﹣1）x＞cx．

【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式的证明，注意运用构造函数法，求出导数判断单调性，考查推理和运算能力，属于中档题．

请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]

22．（10分）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．

（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；

（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．

【考点】NC：与圆有关的比例线段．菁优网版权所有

【专题】35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明．

【分析】（1）连接PA，PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，运用圆的性质和四点共圆的判断，可得E，C，D，F共圆，再由圆内接四边形的性质，即可得到所求∠PCD的度数；

（2）运用圆的定义和E，C，D，F共圆，可得G为圆心，G在CD的中垂线上，即可得证．

【解答】（1）解：连接PB，BC，

设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，

∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，

由⊙O中的中点为P，可得∠4=∠5，

在△EBC中，∠1=∠2+∠3，

又∠D=∠3+∠4，∠2=∠5，

即有∠2=∠4，则∠D=∠1，

则四点E，C，D，F共圆，

可得∠EFD+∠PCD=180°，

由∠PFB=∠EFD=2∠PCD，

即有3∠PCD=180°，

可得∠PCD=60°；

（2）证明：由C，D，E，F共圆，

由EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G

可得G为圆心，即有GC=GD，

则G在CD的中垂线，又CD为圆G的弦，

则OG⊥CD．