∴AM2+MC2=AC2，则AM⊥MC，

∵PA⊥底面ABCD，PA⊂平面PAD，

∴平面ABCD⊥平面PAD，且平面ABCD∩平面PAD=AD，

∴CM⊥平面PAD，则平面PNM⊥平面PAD．

在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．

在Rt△PAC中，由N是PC的中点，得AN==，

在Rt△PAM中，由PA•AM=PM•AF，得AF=，

∴sin．

∴直线AN与平面PMN所成角的正弦值为．

【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的求法，考查数学转化思想方法，考查了空间想象能力和计算能力，是中档题．

20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．

（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；

（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．

【考点】J3：轨迹方程；K8：抛物线的性质．菁优网版权所有

【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】（Ⅰ）连接RF，PF，利用等角的余角相等，证明∠PRA=∠PQF，即可证明AR∥FQ；

（Ⅱ）利用△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求出N的坐标，利用点差法求AB中点的轨迹方程．

【解答】（Ⅰ）证明：连接RF，PF，

由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°，

∴∠PFQ=90°，

∵R是PQ的中点，

∴RF=RP=RQ，

∴△PAR≌△FAR，

∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，

∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR，

∴∠FQB=∠PAR，

∴∠PRA=∠PQF，

∴AR∥FQ．

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），

F（，0），准线为 x=﹣，

S△PQF=|PQ|=|y1﹣y2|，

设直线AB与x轴交点为N，

∴S△ABF=|FN||y1﹣y2|，

∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，

∴2|FN|=1，∴xN=1，即N（1，0）．

设AB中点为M（x，y），由得=2（x1﹣x2），

又=，

∴=，即y2=x﹣1．

∴AB中点轨迹方程为y2=x﹣1．