【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题．

21．（12分）设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A．

（Ⅰ）求f′（x）；

（Ⅱ）求A；

（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有

【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4J：换元法；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用；56：三角函数的求值．

【分析】（Ⅰ）根据复合函数的导数公式进行求解即可求f′（x）；

（Ⅱ）讨论a的取值，利用分类讨论的思想方法，结合换元法，以及一元二次函数的最值的性质进行求解；

（Ⅲ）由（I），结合绝对值不等式的性质即可证明：|f′（x）|≤2A．

【解答】（I）解：f′（x）=﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx．

（II）当a≥1时，|f（x）|=|acos2x+（a﹣1）（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a﹣1）|（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a﹣1）（|cosx|+1）|≤a+2（a﹣1）=3a﹣2=f（0），因此A=3a﹣2．

当0＜a＜1时，f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1）=2acos2x+（a﹣1）cosx﹣1，

令g（t）=2at2+（a﹣1）t﹣1，

则A是|g（t）|在[﹣1，1]上的最大值，g（﹣1）=a，g（1）=3a﹣2，

且当t=时，g（t）取得极小值，极小值为g（）=﹣﹣1=﹣，（二次函数在对称轴处取得极值）

令﹣1＜＜1，得a＜（舍）或a＞．

①当0＜a≤时，g（t）在（﹣1，1）内无极值点，|g（﹣1）|=a，|g（1）|=2﹣3a，|g（﹣1）|＜|g（1）|，

∴A=2﹣3a，

②当＜a＜1时，由g（﹣1）﹣g（1）=2（1﹣a）＞0，得g（﹣1）＞g（1）＞g（），

又|g（）|﹣|g（﹣1）|=＞0，

∴A=|g（）|=，

综上，A=．

（III）证明：由（I）可得：|f′（x）|=|﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx|≤2a+|a﹣1|，

当0＜a≤时，|f′（x）|＜1+a≤2﹣4a＜2（2﹣3a）=2A，

当＜a＜1时，A==++＞1，

∴|f′（x）|≤1+a≤2A，

当a≥1时，|f′（x）|≤3a﹣1≤6a﹣4=2A，

综上：|f′（x）|≤2A．

【点评】本题主要考查函数的导数以及函数最值的应用，求函数的导数，以及换元法，转化法转化为一元二次函数是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．

请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]

22．（10分）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．

（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；

（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．

【考点】NC：与圆有关的比例线段．菁优网版权所有

【专题】35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明．

【分析】（1）连接PA，PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，运用圆的性质和四点共圆的判断，可得E，C，D，F共圆，再由圆内接四边形的性质，即可得到所求∠PCD的度数；

（2）运用圆的定义和E，C，D，F共圆，可得G为圆心，G在CD的中垂线上，即可得证．